Получение основной системы разрешающих уравнений.

Минимизируя функцию Э(q) по всем элементам вектора [ q ]всей области, получаем:

Учитывая, что Э(U) =

(3)

где суммирование производится по всем конечным элементам.

Для линейных задач функционал Э(U) является квадратичной функцией от U и ее производных, и следовательно, e -ый член правой части (3) принимает вид:

(4)

где [ k ]^{( e ) -} квадратная матрица размером r ´ r

(r - число узловых неизвестных e -го элемента)

Коэффициенты этой матрицы определяются свойствами среды. Для нелинейных задач матрица [ k ]^{( e )} является функцией вектора { q ^{( e )}} - вектор узловых неизвестных.

Вектор { p ^{( e )}} имеет размер r, он характеризует внешнее воздействие на

e -ый элемент. С учетом (4) уравнение можно переписать:

(5)

где [ K _¶]= - квазидиагональная матрица порядка r ´ M (М - число элементов),

{p} = { {p}⁽¹⁾ {p}⁽²⁾.....{p}^(m)} - вектор размером r ´ M.

Уравнение (5) записано в местной системе координат. В целях дальнейших упрощений целесообразно от местной системы осуществить переход к так называемой о бщей системе координат.

Введем для S - ой узловой точки вектор неизвестных

Совокупности этих векторов образуют вектор основных неизвестных в общей системе координат

где F - число узлов, N - число неизвестных по всей области.

Между векторами { q } и существует некоторая связь

{ q }= [ Н ]

где [ Н ] - булева матрица размером M ´ N. Ее структура определяется геометрией элемента, классом краевой задачи и принятым порядком нумерации для элементов векторов { q } и .

Если принять в векторе {р}^(e) тот же порядок нумерации компонентов, что и в векторе {q}^(e), то умножив (5) на матрицу [H] ^T, с учетом зависимости (6), получим:

+ (7)

где = [ H ]^T [К_¶] [ H ] - общая матрица коэффициентов при основных неизвестных в общей системе координат для всей области.

Размер квадратной матрицы равен N ´ N.

[ H ]^T - вектор-столбец размером N. Его элементы характеризует внешнее воздействие на всю область W. Полученное матричное уравнение (7) и есть искомая система алгебраических уравнений для определения основных узловых неизвестных .