Типовые задачи. 2. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса.

1. Даны две матрицы: Найти

2. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса.

3. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса.

4. Решить однородную систему уравнений:

5. Решить однородную систему уравнений:

6. Даны вершины четырехугольника A(1; -2; 2), B(1; 4: 0), C(-4; 1; 1),

D(-5; -5; 3). Вычислить угол между его диагоналями.

7. При каком значении параметра α векторы и ортогональны?

8. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору , если известно, что

9. В некотором базисе векторы заданы координатами: Убедиться, что векторы образуют базис и найти в нем координаты вектора .

10. Найти координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами , .

11. Определить координаты концов A и B отрезка, который точками C(2; 0; 2) и D(5; -2; 0) разделен на три равные части.

12. Дано: Вычислить

13. Вычислить площадь треугольника ABC и длину высоты, проведенной из вершины B, если A(1; 2; 0), B(3; 0; 3), C(5; 2; 6).

14. Даны вершины пирамиды A(2; 0; 4), B(0; 3; 7), C(0; 0; 6), S(4; 3; 5). Вычислить ее объем и длину высоты, проведенной из вершины S.

15. Лежат ли точки A(1; 2; -1), B(4; 1; 5), C(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) в одной плоскости?

16. Найти проекцию вектора на вектор , если A(4; 6; 3),

B(-5; 2; 6), C(4; -4; -3).

17. Найти проекцию точки D(1; 0; 3) на плоскость, проходящую через точки A(1; 2; 3), B(2; -1; 1), C(4; 3; 2).

18. Найти проекцию точки D(1; 0; 3) на прямую, проходящую через точки A(1; 2; 3), B(2; -1; 1).

19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P(1; 0; 2), перпендикулярно двум плоскостям 2x-y+3z-1=0; 3x+6y+3z-5=0.

20. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки a=3 и .

21. Найти координаты точки Q, симметричной точке P относительно плоскости

22. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями

23. Найти угол между плоскостями

24. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и и перпендикулярной плоскости

25. Записать уравнение прямой в канонической форме.

26. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой

27. Найти расстояние от точки до прямой

28. Найти угол между прямой и плоскостью

29. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку .

30. Найти проекцию точки на прямую

31. Найти кратчайшее расстояние между прямыми и

32. Упростить уравнение линии и определить ее вид:

33. Упростить уравнение линии и определить ее вид:

34. Упростить уравнение линии и определить ее вид:

35. Упростить уравнение линии и определить ее вид:

36. Составить уравнение кривой второго порядка, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 0, 6.

37. Установить взаимное расположение прямой и плоскости . В случае их пересечения найти координаты точки пересечения.

38. Установить взаимное расположение прямой и плоскости . В случае их пересечения найти координаты точки пересечения.

39. Установить взаимное расположение прямой и плоскости . В случае их пересечения найти координаты точки пересечения.

40. Найти

41. Найти

42. Найти

43. Найти

44. Найти

45. Найти

46. Найти

47. Найти

48. Найти

49. Найти

50. Найти

51. Найти

52. Найти

53. Определить порядок бесконечно малой относительно бесконечно малой в точке

54. Определить порядок бесконечно малой относительно бесконечно малой в точке

55. Определить порядок бесконечно малой относительно бесконечно малой в точке

56. Определить порядок бесконечно малой относительно бесконечно малой в точке

57. Доказать, что функции и при являются бесконечно малыми одного порядка малости.

58. Найти производную функции , пользуясь определением.

59. Найти производную функции , пользуясь определением.

60. Найти производную функции , пользуясь определением.

61. Найти производную функции , заданной неявно.

62. Найти производную функции , заданной неявно.

63. Найти производную функции , заданной неявно.

64. Найти производную от y по x, если

65. Найти производную от y по x, если

66. Найти производную от функции y по аргументу x, если .

67. Найти производную от функции y по аргументу x, если

.

68. Найти производную от функции y по аргументу x, если .

69. Найти угол, под которым пересекаются кривые и

70. Найти угол, под которым пересекаются кривые и

71. Вычислить вторую производную функции

72. Вычислить вторую производную функции

73. Вычислить вторую производную функции , заданной неявно.

74. Вычислить вторую производную функции y по x, если

75. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график, если

76. Исследовать функцию на непрерывность в точках

77. Найти предел, используя правило Лопиталя:

78. Найти предел, используя правило Лопиталя:

79. Найти предел, используя правило Лопиталя:

80. Найти предел, используя правило Лопиталя:

81. Найти предел, используя правило Лопиталя:

82. Найти предел, используя правило Лопиталя:

1. Найти предел, используя правило Лопиталя:
2. Найти предел, используя правило Лопиталя:
3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
4. Провести полное исследование функции и построить ее график.
5. Провести полное исследование функции и построить ее график.
6. Провести полное исследование функции и построить ее график.
7. Провести полное исследование функции и построить ее график.
8. Провести полное исследование функции и построить ее график.
9. Провести полное исследование функции и построить ее график.

92. Найти частные производные первого и второго порядка от функции

93. Найти частные производные первого и второго порядка от функции

94. Найти частные производные первого и второго порядка от функции

95. Найти полный дифференциал функции и с его помощью вычислить приближенно .

96. Найти полный дифференциал функции и с его помощью вычислить приближенно

97. Найти если где

98. Найти и если где

99. Найти если

100. Найти если

101. Найти экстремумы функции

102. Найти экстремумы функции .

103. Для поверхности найти уравнение касательной плоскости и нормали в точке M(-1; 0; -4).

104. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

105. Найти производную функции в точке в направлении вектора

106. Найти угол между градиентами функции в точках

1-й семестр, экзаменационный билет (образец).

1. Основные понятия теории графов: ребра, вершины, граф, подграф, ориентированный граф, изоморфизм графов.

2. Теорема Лагранжа.

3. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее матричным способом. .

4. Найти угол между плоскостями

ЛИТЕРАТУРА

1. Пискунов И.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т.1, 2.

М.: “Интеграл-Пресс”, 2000.

2. Минорский В.М. Сборник задач по высшей математике. М. Наука, 1998.

3. Комплект расчетно-графических заданий по всем разделам изучаемой

дисциплины.

Программу экзамена составил:

Доцент кафедры высшей математики Сорокин С.Н.