Вероятность случайного события

Вероятностные оценки случайных величин

При вероятностных оценках рекомендуется размах случайной величины от х_min до х_max разбить на несколько (как правило, не менее 5-7 и не более 9-11) равных по длине ∆ х интервалов (табл.2).

В данном примере принимаем число интервалов j = 7 и находим величину интервала

∆ х = (х _max - х_min) / j = (20 – 6) / 7 = 2 тыс. км

Далее следует произвести группировку, т.е. определить число случайных величин (отказов), попавших в первый (п₁), второй (п ₂) и остальные интервалы n_j. Это число называется частотой отказов в данном интервале.Разделив каждую частоту на общее число случайных величин (п₁ +п₂ +... + п_п = п = 100), определяют частость ( ω _j) = п_j /п ) попаданий в данный интервал.

Таблица 2 - Пример вероятностной оценки случайных величин

(для 100 шт. заготовок или деталей)

Частость является эмпирической (опытной) оценкой вероятности Р_(x) , таким образом, при увеличении числа наблюдений интервальная частость ω _j приближается к интервальной вероятности p_j:

т.е. ω _j → p_j.

Полученные при группировке случайной величины результаты сводятся в таблицу (табл.2), данные которой имеют не только теоретическое, но и практическое значение. Например, по результатам наблюдений можно предположить, что у аналогичных изделий в тех же условиях эксплуатации и в интервале наработ­ки 6 - 8 тыс. км может отказать около 6% изделий (ω ₁ = p₁ = 0, 06), в интервале 8 -10 тыс. км - 12% (ω ₂ = p₂ = 0, 12), в интервале 10 -12 тыс. км - 19% (ω ₃ = p₃ = 0, 19) и т.д.

Следовательно, имея систематизированные данные по отказам, можно прогнозировать и планировать число воздействий (программу работ), потреб­ности в рабочей силе, площадях, материалах и запасных частях при ТО и ремонте.

Вероятность случайного события

В общем виде это отношение числа слу­чаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу случаев.

Вероятность отказа F(x) рассматривается не вообще, а за определенную нара­ботку X и считается как вероятность совершившегося события P(х )

F(x) = P { x_i < X }

Вероятность отказа изделия при наработке X равна вероятности событий, при которых наработ­ка до отказа конкретных изделий x_i окажется менее X.

В примере (табл. 2) при наработке X = 10 тыс. км имеем

F(х) = Р{ x_i < 10 } = (ω ₁ + ω ₂) = (п₁ + п₂ ) / п = (6 + 12)/100 = 0, 18

R(x)=P{ x_i > X } = (п-т(х)) / п

где (п - т(х)) - число изделий, не отказавших за наработку X.

В примере для наработки X = 10 тыс. км имеем

R(x) = Р{ x_i > 10 } = (100 – 18) / 100 = 0, 82.

Обычно применяется следующая буквенная индексация рассмотренных собы­тий и понятий:

- F (failure) - отказ, авария, повреждение, вероятность этих событий;

- R (reliability) - безотказность, надежность, прочность, вероятность этих событий;

- Р (probability) - вероятность.

Накопленная (интегральная) вероятность отказа может быть получена также последовательным суммиро­ванием интервальных вероятностей отказов за наработку X, т.е.

F(x) = p₁+p₂ +... + p_j,

где j - номер интервала, соответствующий наработке X.

5. Следующей характеристикой случайной величины является плотность вероятности (например, вероятности отказа) f(x) - функция, характеризующая вероятность отказа за малую единицу времени наработки (т.е. бесконечно малое приращение интегральной функции при бесконечно малом интервале наработки) при работе узла, агрегата, детали без замены. Если вероятность отказа за наработку F(x) = m(x)/n, то, дифферен­цируя ее при п = const, получим плотность вероятности отказа

f(x) = F′ (x) = ( 1 /n )· ( dm/dx ),

где dm/dx — элементарная вероятность или, иначе,

«скорость», с которой в любой момент времени проис­ходит приращение числа отказов при работе детали или агрегата без замены.

Так как f(x) = F'(x), то

Поэтому F(x) называют интегральной функцией распределения, а f(x ) - диф­ференциальной функцией распределения.

Так как

, a R(x) = 1 - F(x), то

При выполнении контрольного задания дифференцирование F(x) можно заменить делением приращения функции ∆ F(x) на шаг интервала ∆ х, т.е.

f(x) = ∆ F(x) / ∆ х

В данном примере (табл.2)

∆ F(x)₁ = F(x₂) - F(x₁) = (0, 06 – 0);

∆ F(x)₂ = F(x₃) - F(x₂) = (0, 18 – 0, 06) и т.д.

Например, при ∆ х = 2 тыс. км., по табл.2:

1. f(x)₁ = (0, 06 – 0) / 2 = 0, 03

2. f(x)₂ = (0, 18 – 0, 06) / 2 = 0, 06

3. и т.д.

Имея значения F(x) или f(x), можно произвести оценку надежности и опре­делить среднюю наработку до отказа

6. При оценке качества изделий, нормировании ресурсов, в системе гарантийного обслуживания применяют гамма-процентный ресурс х_γ .

Гамма-процентный ресурс х_γ , это егоинтегральное значение х_γ , при которым с вероятностью R = γ % все исследуемые изделия (или автомобили) будут работать без отказа, т.е.

R=P{ х_i > x_y } > γ .

Гамма-процентный ресурс используется при определении периодичности ТО по заданному уровню безотказности γ. Выражение l_{ТО =} х_γ означает, что обслу­живание с периодичностью l_ТО гарантирует вероятность безотказной работы R > γ и отказа F < (1 - γ).

Допустим, что если организаторы производства без проведения технико-экономического анализа назна­чали бы периодичность ТО, например, l_ТО = 10 тыс. км (см. табл.2), то примерно 18 из­делий из 100 (n₁ = 6 и n₂ = 12, т(х ) = 18) откажут ранее назначенного ТО, т.е. веро­ятность отказа

F(x< 10) = Р{ x_i < (Х = 10)} = т(х) / n = 18 / 100 = 0, 18

Остальные 82% изделий (19 + 25 + 20 + 13 + 5) имеют потенциальную наработ­ку на отказ х_i > 10 тыс. км. Следовательно, ТО им будет произведено ранее, чем они могут отказать в работе, и вероятность их безотказной работы

R(x > 10) = Р{ x_i > (Х = 10)} =( n - т(х) ) / n = 82/100 = 0, 82.

F(x) + R(x )= 0, 18 + 0, 82= 1, 0,

т.е., зная вероятность отказа, можно определить вероятность безотказной работы и наоборот.

7. Используя данные табл.2, можно также определить некоторые точечные оценки случайных величин.

Среднее значение случайной величины

где j - номер интервала.

Для данных табл. 3 имеем:

= 7 · 0, 06 + 9 · 0, 12 +11 · 0, 19 +13 · 0, 25 +15 · 0, 20 +17 · 0, 13+19 · 0, 05 =

= 13, 0 тыс. км.

Таким образом, если периодичность ТО равнялась бы средней наработке на отказ, то более 60% изделий в рассматриваемом примере отказали бы до обслуживания.

Среднеквадратическое отклонение, характеризующее вариацию,

где j - число интервалов.

коэффициент вариации
= 1, 26/13 = 0, 1

8. Важным показателем надежности является интенсивность отказов λ (х) - условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого изделия, определяемая для каждого данного момента времени при условии, что отказа до этого момента не было.

Аналитически для получения λ (х) необходимо элементар­ную вероятность dm/dx отнести к числу элементов, не отказавшихк моменту х, т.е.

λ (х) = dm/dx / ( n - т(х) ).

Так как вероятность безотказной работы R(x) = ( n-m(x) ) / n, то

λ (х) = dm/dx · (1 / nR(x) )

Учитывая, что f(x) = (1 / n) · dm/dx, получаем

λ (х) = f(x) / R(x ).

Рисунок 1 - Изменение интенсивности постепен­ных (1) и внезапных (2) отказов

Таким образом, интенсивность отка­зов равна плотности вероятности отказа, деленной на вероятность безотказной работы для данного момента времени или пробега.

Так как R(x) = 1 - т(х) / п, то после дифференцирования

R(x)/ dx = - (1 / п) · dm/dx.

λ (х) = - ( 1 / R ) / dR/dx,

откуда после интегрирования

Это универсальная формула определения вероятности безотказной работы невосстанавливаемого элемента для любого закона распределения.

Зная интенсив­ность отказов, можно для любого момента времени или пробега определить вероятность безотказной работы. Существуют постепенные (1) и внезапные (2) отказы (рис.1). Постепенные отказы описывают работу так называемых стареющих элементов автомобиля.

9. Наглядное представление о величине и вариации случайной величины дает их графическое изображение: гистограммы (1, рис. 2) и полигоны (2, рис. 2) распределения, а также интегральные функции распределения вероятностей отказа (3, рис. 2) и безотказной работы ( 4, рис. 2) и дифференциальные функции или законы распределения случайной величины (рис. 3).

10. В ряде случаев законы распределения случайных величин могут быть описаны аналитически, как функции параметров этих законов. Такие аналитические зависимости имеются для нормального, экспоненциального и ряда других законов распределения случайной величины, описывающих процессы в технической эксплуатации автомобилей

Общий вид закона распределения:

F(x)= f(x)dx, R(x)= f(x)dx,

причем

, f(x) > 0.

Для процессов технической эксплуатации автомобилей и непрерывных случайных величин наиболее харак­терны следующие законы распределения.

Нормальный закон распределения (двухпараметрический: σ и х). Такой закон формируется, когда на исследуемый процесс и его результат влияет сравнительно большое число независимых (или слабозависимых) элементарных факторов (сла­гаемых), каждое из которых в отдельности оказывает лишь незначительное дейст­вие по сравнению с суммарным влиянием всех остальных.

,

Рисунок 2 - Графическое изображение случайной величины отказа свечи

1- гистограмма, 2 - полигон распределения, 3 - интегральная функция вероятности отказов и 4 - безотказной работы

Рисунок 3 – Дифференциальная функция распределения – закон распределения

случайной величины

F(x₁) - площадь диаграммы, соответствующая накопленной функции отказов;

R(x₁) - площадь диаграммы, соответствующая γ – процентномуресурсу;

x₁ - текущее значение наработки на отказ.

Экспоненциальный закон (однопараметрический - λ ). При экспоненциальном законе распределения вероятность безотказной работы не зависит от того, сколько проработало изделие с начала эксплуатации, а определяется конкретной продол­жительностью рассматриваемого периода или пробега ∆ х, называемого временем (или пробегом) на выполнение задания. Таким образом, эта модель не учитывает постепенного изме­нения параметров технического состояния, например, в результате изнашивания, старения и других причин, а рассматривает так называемые нестареющие элемен­ты и их отказы. Экспоненциальный закон используется чаще всего при описании внезапных отказов, продолжительности разнообразных ремонтных воздействий и в ряде других случаев:

f(x) = λ exp(-λ x);

R(x) = ехр(-λ x).

Для этого закона ; = σ; v= 1, 0.

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко проявляется в модели так называе­мого слабого звена. Если система состоит из группы независимых элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу всей системы, то в такой модели рассмат­ривается распределение времени (или пробега) достижения предельного состояния системы как распределение соответствующих минимальных значений х_i отдельных элементов:

х_с = min(.x₁; х₂; х₃... х_n;).

Функция распределения этой величины может быть выражена следующей зависимостью:

где а и b - параметры распределения закона Вейбулла-Гнеденко