Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Название признака	формулировка	Когда применяется
1.Интегральный признак Коши	; un =f(n); Если f(x) при х 1 есть непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция ряд сходится, если сходится несобственный интеграл и расходится, если этот интеграл расходится.	Для рядов типа интегрируемых функций
2. Признак сравнения 1   3. Признак сравнения 2	Пусть даны два знакоположительных ряда Причем для всех n > N. Тогда из сходимости ряда (2) сходимость ряда (1) и из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).   Если предел отношения этих рядов существует и конечен , то ряды (1) и (2) ведут себя одинаково (сходятся и расходятся одновременно). Эталонные ряды: 1) Геометрический ряд   2) Ряд - .	Применяется для решения вопроса о сходимости рядов, для которых, используя замену бесконечно малых величин эквивалентными, можно привести ряд к эталонному
4. Признак Даламбера	Если существует	для рядов, общие члены которых содержат степенные, показательные выражения и факториалы
5.Радикальный признак Коши	Если существует	Для рядов, общий член которых представляет собой n -ю степень выражения

Теорема (Признак Лейбница). Знакочередующийся ряд

(1)

сходится, если:

1. Абсолютные величины членов ряда образуют монотонно убывающую последовательность, т.е. U₁≥ U₂≥ …≥ U_n≥ …,

2. Общий член ряда стремиться к нулю: .

При этом сумма S ряда (1) удовлетворяет неравенствам

.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей.

Абсолютно сходящиеся ряды напоминают ряды с положительными членами.

Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не сходится абсолютно.

интервал (-R; R) есть интервал сходимости степенного ряда

.