Лабораторна робота №10

Тема. Розв’язування диференційних рівнянь

Мета: отримати навики розв’язування диференційних рівнянь (ДР)

та систем ДР засобами програми Maple.

Навчальні питання:

1. Розв’язок диференційних рівнянь.

2. Розв’язок систем ДР.

За допомогою пакету символьних обчислень Maple можна розв’язувати диференціальні рівняння та системи диференціальних рівнянь, проводити геометричну візуалізацію розв’язку. Для розв’язування диференціальних рівнянь служить команда dsolve.

Після підключення до бібліотеки DEtools, Maple дозволяє будувати поля напрямів диференціальних рівнянь та їх систем.

Приклад 1. Розв’язати звичайне диференціальне рівняння .та побудувати його поле напрямів.

> Dsolve(diff(y(x), x)-y(x)-1=0, y(x));

> dsolve(diff(y(x), x)-y(x)-1=0, y(x));

Побудуємо поле напрямів цього рівняння, використавши команду dfieldplot:

> with(DEtools):

> dfieldplot(diff(y(x), x)-y(x)-1=0, y(x), x=-3..3, y=-9..9, color=y+1);

Приклад 2. Розв’язати звичайне диференціальне рівняння , що задовольняю початкову умову ,.та побудувати фазову картинку цього рівняння.

> Dsolve({diff(y(x), x)-y(x)-1=0, y(0)=2}, y(x));

> dsolve({diff(y(x), x)-y(x)-1=0, y(0)=2}, y(x));

Скористаємося командою phaseportrait та побудуємо фазову картинку рівняння , яке задовольняє початкову умову .

> with(DEtools):

> phaseportrait(diff(y(x), x)-y(x)-1=0, y(x), x=-3..3, [[y(0)=2]], y=-9..9, stepsize=.05, color=y+1);

Приклад 3.

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

і виділити з нього частковий розв’язок, який задовольняє початкові умови . Побудувати графік знайденої інтегральної кривої.

Розв’язання.

> de5: =diff(y(x), x$2)-6*diff(y(x), x)+9*y(x)=9*x^2-39*x+65;

> dsolve(de5, y(x));

> dsolve({de5, y(0)=1, D(y)(0)=1}, y(x));

> plot(-4*exp(3*x)+16*exp(3*x)*x+5-3*x+x^2, x=-1..1, y=0..50);

Приклад 4.

Розв’язати систему лінійних диференціальних рівнянь

,

серед знайдених розв’язків виділити той, який задовольняє умову

> sys: =diff(x(t), t)=4*x(t)+y(t)-36*t, diff(y(t), t)=-2*x(t)+y(t)-2*exp(t): fcns: ={x(t), y(t)};

> dsolve({sys, x(0)=0, y(0)=1}, fcns);

Завдання 1. Розв’язати звичайне диференціальне рівняння, що задовольняю початкову умову,.та побудувати фазову картинку цього рівняння.

Завдання 2. Розв’язати рівняння вищих порядків. Результати подати у

графічному вигляді:

Завдання 3. Розв’язати системи диференціальних рівнянь: