Отклонение точки M1(x1,y1,z1) от плоскости

δ = x 1cosα + y 1cosβ + z 1cosγ − p;

δ > 0, если Mi и начало координат лежат по разные стoроны П., в противоположном случае δ < 0. Расстояние от точки до П. равно | δ |.

плоскость задана уравнением и дана точка. Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

52 Преобразование общего уравнения плоскости к нормированному виду.

x cosα + y cosβ + z cosγ − p = 0

={ x cosα, y cosβ, z cosγ }

Ax+By+Cz+D=0

. Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку числа D.

Если D = 0, то знак нормирующего множителя значения не имеет.

Приведите уравнение плоскости к нормальному виду.

В нашем случае . Так как D – положительное число, то нормирующий множитель следует взять со знаком минус. Вычислим значение нормирующего множителя: . Для получения требуемого нормального уравнения плоскости умножим обе части исходного уравнения на нормирующий множитель:

53 Общее и каноническое уравнения прямой линии в пространстве.

Общее уравнение линии в пространстве определяется как пересечение 2х плоскостей.

Прямая а представляет собой множество всех общих точек плоскостей и . Следовательно, координаты любой точки прямой a удовлетворяют одновременно и уравнению и уравнению , то есть, являются частным решением системы уравнений . Тогда общее решение системы линейных уравнений вида определяет координаты каждой точки прямой, по которой пересекаются плоскости и , а значит, определяет прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

уравненияме прямой в пространстве в каноническом виде.

x1, y1, z1 - координаты некоторой точки прямой, ax, ay, az - координаты направляющего вектора прямой

54 Угол между прямыми линиями в пространстве и угол между прямой и плоскостью.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l 1 параллельна l 2 тогда и только тогда, когда параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

55 Условия перпенидикулярности и параллелености: а) прямых линий в пространстве б) прямой и плоскости.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l 1 параллельна l 2 тогда и только тогда, когда параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

56 Канонические уравнение поверхностей второго порядка.