К исследованию функций

Глава I Применение дифференциального исчисления

1. Найти дифференциал функции

1.1) в точке х = 0 при

1.2) в точке х = 1 при

1.3) Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение

2. Правило Лопиталя. Сравнение функций по скорости роста.

2.1) Вычислить предел: .

2.2) Какая из функций растет быстрее на бесконечности:

? ?

3. Найти интервалы убывания и возрастания функции

3.1) 3.2) .

4. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

4.1) Найти значение функции в точке локального максимума

4.2) Найти экстремумы функций ; 4.3) .

5. Наибольшее и наименьшее значение функций.

5.1) Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на интервале .

6. Задачи с экономическим содержанием.

6.1) Завод производит х единиц продукции в месяц, суммарные издержки производства . Зависимость между удельной ценой р и количеством единиц продукции такова: . При каких условиях прибыль будет максимальной, если выручка от продажи ?

7. Точка перегиба.

7.1) Валовый продукт страны в период кризиса определялся функцией

. В какой момент начинается замедление падения ВВП?

8. Эластичность функций и ее свойства.

8.1) Найти эластичность функции продаж при уровнях цен и

. Дать экономическую интерпретацию.