Лабораторна робота №2.

Тема: визначення закону напрацювання на відмову за даними статичної вибірки.

Мета роботи: навчитися за даними статичної вибірки отримувати розподіл випадкової величини в аналітичному вигляді.

Вихідні дані: в якості вихідних даних використовуємо вибірку попередньої лабораторної роботи:

Варіант Var k9

Дані вибірки напрацювання на відмову: 0, 5; 1, 2; 1, 6; 1, 7; 1, 8; 0, 1; 1, 9; 1, 5; 1, 2; 1, 8; 2; 0, 9; 3, 6; 2, 2; 2, 3; 2, 4; 2, 5; 2, 6; 3, 7; 3, 8; 2, 9; 3; 3, 1; 3, 2; 3, 3; 3, 4; 11, 2; 3, 6; 3, 7; 3, 8; 3, 9; 4; 2, 1; 2, 2; 2, 3; 4, 1; 4, 2; 4, 3; 4, 5; 4, 6; 4, 7; 4, 8; 4, 9; 5; 5, 1; 5, 2; 5, 3; 5, 4; 5, 5; 5, 6; 5, 7; 5, 8; 5, 9; 4, 1; 4, 2; 4, 3; 4, 4; 4, 5; 12; 10, 5; 4, 8; 4, 9; 5; 4, 1; 5, 1; 5, 2; 5, 3; 5, 4; 5, 5; 5, 6; 5, 7; 5, 8; 5, 8; 6; 6, 1; 6, 2; 6, 3; 6, 4; 6, 5; 6, 5; 6, 6; 6, 7; 6, 8; 6, 9; 7; 7, 1; 7, 2; 7, 3; 7, 4; 7, 5; 7, 6; 7, 7; 7, 8; 7, 9; 8; 6, 5; 6, 5; 6, 9; 6, 8; 6, 6; 7; 7, 1; 7, 8; 7, 9; 8; 8; 8; 7, 9; 7, 8; 6; 6, 8; 6, 2; 6, 3; 6, 4; 6, 5; 6, 6; 6, 7; 6, 8; 6, 9; 6, 8; 6, 9; 6, 7; 6, 5; 7, 2; 7, 3; 7, 5; 7, 6; 7, 8; 7, 2; 7, 3; 7, 9; 7, 5; 7, 6; 7, 8; 8; 7, 2; 6, 5; 6, 9; 8, 2; 8, 1; 8, 3; 8, 4; 8, 5; 8, 6; 8, 7; 8, 8; 8, 9; 9; 9, 2; 9, 1; 9, 2; 9, 3; 9, 4; 9, 5; 9, 6; 9, 7; 9, 8; 9, 9; 10; 9, 2; 8, 3; 8, 4; 8, 5; 8, 6; 8, 7; 8, 9; 9; 10, 1; 12; 10, 9; 10, 8.

Хід роботи: Перевіримо застосовність закону нормального розподілу.

Знаходимо математичне очікування за часом (t_о):

Визначаємо дисперсію розподілу:

При цьому середньоквадратичне відхилення дорівнюватиме:

Визначимо значення зіставних членів формули:

Тоді:

Визначаємо теоретичну кількість деталей, що відмовили:

Загальна сума теоретично відмовлених деталей:

Щільність вірогідності для кожної групи:

Для числового визначення функції Лапласа, що входить в цей вираз, визначимо величину(z):

За цим виразом із таблиці П.1 додатка знаходимо Ф(z):

Тоді вираз з урахуванням числових значень і його зіставних частин приводжу до вигляду:

Визначення середнього значення:

Визначаю вірогідність безвідмовної роботи:

Визначаю щільність розподілення:

Визначаю інтенсивність відмов:

Таблиця порівняння експериментальних і теоретичних значень.

Визначення чисельного значення математичного очікування напрацювання до відмови:

Знаходимо середньоквадратичне відхилення оцінки :

Із таблиці П2 додатка для β =0, 8 знаходимо значення

Тоді

Нижні і верхні межі довірчої границі складають:

Отже, середнє напрацювання до відмови знаходиться в інтервалі:

Будую криву нормального закону.

Перевіримо застосовність універсального закону Вейбулла:

Відмінністю цього закону є те, що він задає щільність розподілу ймовірності напрацювання до відмови, яка характеризується параметром масштабу і параметром форми.

Параметр задає масштаб кривої розподілу по осі абсцис, а параметр

визначає гостроту і асиметрію кривої щільності розподілу.

Функція розподілу, функція надійності, ймовірність відмови і інтенсивність відмов в цьому законі визначаються по формулах:

;

;

.

Для визначення параметрів і можна використати метод найменших квадратів. В даному випадку суть цього методу полягає у тому, що по сукупності значень , , отриманих на підставі вибірки, визначаються такі коефіцієнти, які забезпечують найкраще розташування експериментальних крапок , на графіку у системі координат.

Після подвійного логарифмування функції надійності отримаємо:

Цей вираз характеризує лінійну залежність лівої його частини від .

Введемо наступні позначення:

;

;

;

Тоді вираження можна записати в спрощеному вигляді:

Значення і обчислюються за експериментальними даними варіаційного ряду:

;

, i=1, 2, …, n,

де - i-те значення варіаційного ряду напрацювання до відмови;

Статичне значення функції розподілу, відповідне :

,

де n – число значень вибірки;

і - порядковий номер варіаційного ряду наробіток до відмови, розташованих в зростаючому порядку.

Середні значення і :

; ;

Визначають коефіцієнти:

Визначають параметри закону Вейбулла:

;

Таблиця для визначення параметрів.

Значення по закону Вейбулла.

	0, 5	1, 5	2, 5	3, 5	4, 5	5, 5	6, 5	7, 5	8, 5	9, 5	10, 5	11, 5
F (t)	0, 128	0, 338	0, 497	0, 618	0, 709	0, 779	0, 832	0, 872	0, 903	0, 926	0, 944	0, 957
P(t)	0, 872	0, 662	0, 503	0, 382	0, 291	0, 221	0, 168	0, 128	0, 097	0, 074	0, 056	0, 043
(t)	0, 0159	0, 037	0, 047	0, 05	0, 049	0, 046	0, 041	0, 036	0, 031	0, 026	0, 022	0, 019
λ (t)	0, 0183	0, 056	0, 093	0, 131	0, 168	0, 206	0, 244	0, 282	0, 32	0, 358	0, 396	0, 434

Висновок: При нормальному законі середнє напрацювання до відмови знаходиться в інтервалі . Очевидно, слід прийняти нижній кордон для призначення міжремонтного періоду.

При універсальному законі Вейбулла, при b=2, 01, отже, закон використовується для оцінки надійності «старіючих» об'єктів. Діаграма f^(t) ближче всього наближується до графіку