![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Исследование затухающих колебанийСтр 1 из 2Следующая ⇒
Лабораторная работа № 12
Цель работы. Изучение затухающих колебаний в колебательном контуре при различных величинах параметров L, С, R, расчет логарифмического декремента затухания.
Приборы и оборудование. Установка для изучения законов переменного тока в составе: магазин индуктивностей, магазин емкостей, магазин сопротивлений, коммутатор, источник питания, осциллограф С1-65. 1.ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
1.1. Колебательный контур Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора С, катушки индуктивности L и омического сопротивления R (рис. 12.1). Такая цепь называется колебательным контуром [1]. Внешняя электродвижущая сила создает в цепи переменное напряжение, изменяющееся по косинусоидальному закону:
Ток, текущий в колебательном контуре, считается квазистационарным, т. е. таким, когда во всех элементах последовательной электрической цепи его значение в данный момент одинаково[2]. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе такое же, как и при тех же, но неизменных во времени зарядах на его пластинах. Для мгновенных значений квазистационарных токов справедливы законы, установленные для цепей постоянного тока. Пусть Q — заряд конденсатора в данный момент времени, U — разность потенциалов на его пластинах. Тогда
так как положительному направлению тока (рис. 12.1) соответствует убывание заряда конденсатора. По закону Ома имеем
где
Подставляя (12.1), (12.2) и (12.4) в (12.3)·, имеем
Разделим уравнение (12.5) на LC и введем обозначения Тогда после преобразований получим дифференциальное уравнение (12.6), являющееся уравнением колебательного контура:
1.2. Гармонические колебания При отсутствии в контуре омического сопротивления (R = 0) и внешней электродвижущей силы процесс разряда конденсатора через катушку индуктивностью L описывается уравнением[3] (12.7), в которое переходит (12.6) при e 0 = 0 и b = 0:
Для его решения умножим уравнение (12.7) на U и в результате преобразований придем к уравнению (12.8):
Из (12.8) следует, что при разряде конденсатора в колебательном контуре величина U2 + w 0 2U2 остается неизменной. Пусть в начальный момент времени сила тока в контуре I = CU =0, напряжение на конденсаторе равно U 0. Тогда равенство (12.8) может быть записано в виде
или
где LI 2 / 2— энергия магнитного поля катушки, CU 2/2— энергия электрического поля конденсатора. Уравнение (12.10) представляет собой закон сохранения энергии в колебательном контуре. После разделения переменных
уравнение (12.9) может быть проинтегрировано. В результате получим
или - уравнение гармонических колебаний[4]. Постоянные U 0и j определяются из начальных условий, Из уравнения (12.12) следует, что. Tw 0 = 2 p. Тогда
- формула Томсона[5] [6].
1.3. Затухающие колебания Реальный контур обладает сопротивлением R. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на джоулево тепло, поэтому свободные колебания затухают[7]. Дифференциальное уравнение свободных колебаний в колебательном контуре получается из (12.6) при отсутствии внешней электродвижущей силы:
Для его решения введем новую переменную x(t):
В результате подстановки (12.15) в (12.14) получим уравнение (12.16), которое совпадает с дифференциальным уравнением гармонических колебаний при w 2 - b 2 > 0:
Его решение [см. (12.12)] имеет вид
где Зависимость напряжения на конденсаторе колебательного контура от времени получается подстановкой (12.17) в (12.15):
График зависимости U(t) изображен на рис. 12.2. Из рисунка видно, что кривая U(t) периодически проходит через нуль и максимальные значения. Описываемый уравнением (12.18) процесс называется затухающими колебаниями [8]. Промежуток времени Т называется периодом затухающих колебаний:
а величина
называется амплитудой затухающих колебаний. За время
Он связан с числом полных колебаний N, совершаемых за время
Величина
Добротность Q связана с относительной убылью энергии контура за один период колебаний зависимостью
Здесь W — энергия, запасенная в контуре, D W — уменьшение энергии за один период. Действительно,
так как энергия контура пропорциональна квадрату амплитуд напряжение на конденсаторе:
При условии, что
![]() откуда При В этом предельном случае уравнение (12.16) переходит в уравнение
имеет решение
где а и b — постоянные интегрирования. Уравнение U (t), описывающее процесс изменения напряжения на конденсаторе, в этом случае имеет вид
Процесс изменения напряжения на конденсаторе будет апериодическим. Графики U (t) при разных значениях а и b приведены на рис. 12.3. Сопротивление R кр, при котором колебательный процесс в контуре переходит в апериодический, называется критическим. Критическое сопротивление[10] R кропределяется из условия При R > R кр апериодический характер процессов в колебательном контуре сохраняется.
2. Установка для наблюдения затухающих колебаний Наиболее простой способ возбуждения собственных колебаний в колебательном контуре реализован в установке принципиальная схема, которой приведена на рис. 12.4. Коммутатор К представляет собой переключатель, который с частотой 50 Гц подключает конденсатор попеременно то к источнику питания то к индуктивности. На выходе коммутатора формируется импульсы напряжения в форме меандра длительность t ком = 0.02. В течение времени t ком конденсатор подключен к источнику и заряжается до напряжения питания. Потом в течение следующих t иком = 0.02 с конденсатор разряжается через контур и в колебательном контуре возникают затухающие колебания (рис. 12.5). В колебательном контуре происходит непрерывный процесс преобразования электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки и на оборот. В первый момент времени, как только коммутатор замкнет цепь колебательного контура, конденсатор начнет разряжаться и по цепи потечет ток.
Рис. 12.4. Принципиальная схема установки Ток, текущий по виткам катушки вызовет появление магнитного поля и ЭДС самоиндукции в катушке. В начале самоиндукция будет препятствовать нарастанию тока. Так будет продолжаться до того момента пока конденсатор полностью не разрядиться, а магнитное поле в катушке не достигнет максимума. Теперь ЭДС самоиндукции поменяет направление, стремясь подержать ток на неизменном уровне. По мере уменьшения магнитного поля движение зарядов в контуре будет продолжаться, но ток будет течь уже в обратном направлении. Этот ток приведет к зарядке конденсатора с противоположной полярностью. В момент, когда магнитное поле катушки станет равным нулю, напряжение на конденсаторе достигнет максимума и все процессы повторятся вновь. Напряжение с конденсатора поступает на вход Y осциллографа. При включенной развертке на экране можно наблюдать кривую затухающих колебаний (рис. 12.5). Когда R > R кр колебательный процесс переходит в апериодический. Основные причины затухания колебаний в реальном контуре следующие: наличие омического сопротивления проводников, потери на излучение, потери в конденсаторе[11].
U = U 0 cos (w 0 t + j). (12.27) Сила тока в контуре равна I = − C • dU / dt = CU 0 w 0 sin (w 0 t + j) (12.28) Исключив из уравнений (12.27) и (12.28) время, получим уравнение фазовой кривой:
|