Лекция № 1

ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ ГТД

СОБСТВЕННЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ

Лекция № 1

СОБСТВЕННЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕВРАЩАЮЩЕГОСЯ ОДНОДИСКОВОГО РОТОРА.

Задачей расчета собственных изгибных колебаний ротора является определение его частот и форм колебаний в отсутствии каких-либо внешних возбуждающих факторов.

Рис.1 Две формы собственных изгибных колебаний вала с консольно расположенным диском: а - первая форма (частота р1 ); в - вторая форма (частота р2).

Выясним сначала основные закономерности собственных изгибных колебаний невращающегося ротора, состоящего из диска и упругого вала, расположенного на двух абсолютно жестких шарнирных опорах. К такой схеме приводится ротор одноступенчатой турбины или центробежного компрессора.

Условимся считать статической осью вала геометрическое место точек, взятых, в поперечных сечениях вала и остающихся неподвижными в пространстве при очень медленном проворачивании ротора. От статической оси отсчитываются прогибы вала при колебаниях.

Совокупность тех же точек, принадлежащих сечениям вала и смещающихся в пространстве вместе с валом при его колебаниях, представляет упругую линию вала. Кроме статической оси и упругой линии вала, необходимо указать еще на одну, xарактерную линию — ось подшипников (Рис.1).

Средняя плоскость покоящегося диска пересекается со статической осью в точке О ^' Точку О₁пересечения той же плоскости с упругой линией назовем условно точкой крепления диска. В состоянии покоя системы точка О₁ находится в точке О ^' на статической оси вала. Для упрощения рассуждений примем, что статическая ось вала является прямой линией, совпадающей с осью подшипников (точка О ^' совмещается с точкой О на оси подшипников). Так как ротор считается идеально уравновешенным, центр массы (центр тяжести) диска совпадает с точкой О₁.

Поместим в точку О начало неподвижной правой системы координат Охуz так, чтобы ось х совпала с осью подшипников, а плоскость уОz былаперпендикулярна к этой оси. Будем рассматривать свободные незатухающие изгибные колебания, происходящие в вертикальной плоскости хОу. Предположим, что внешней нагрузкой система была выведена из состояния статического равновесия и в начальный момент времени предоставлена самой себе. Тогда в последующие моменты времени положение диска при колебаниях будет определяться двумя координатами: смещением центра тяжести от положения равновесия – у, и углом поворота диска - α. Смещением центра тяжести вдоль оси х пренебрегаем как величиной второго порядка малости. Следовательно, рассматриваемая система обладает двумя степенями свободы.

При свободных колебаниях на вал действуют в точке крепления диска сила инерции массы диска , направленная вдоль оси у, и инерционный момент , возникающий благодаря повороту диска относительно собственного диаметра, параллельного оси z.Рассматриваемые сила и момент равны:

, (1.1)

m- масса диска;

I_Э - массовый экваториальный (осевой) момент инерции диска. Знаки «минус» указывают на то, что сила инерции и инерционный момент направлены, против соответствующих ускорений диска и .

Прогиб у и угол поворота сечения вала α, вызываемые силой Pи моментом М _Z в месте крепления диска в общем виде будут определяться следующими выражениями:

; (1.2)

где a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂— коэффициенты влияния или податливости вала, считаем не зависящими ни от величины деформации, ни от времени, в течение которого совершаются колебания:

(a₁₁ – прогиб вала, вызываемый единичной силой;

a₁₁ – прогиб вала, вызываемый единичным изгибающим моментом;

a₂₁ – угол поворота диска, вызываемый единичной силой;

a₂₂ – угол поворота диска, вызываемый единичным изгибающим моментом).

Подставив выражения для Ри М_Z в уравнения (1.2), получим систему двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающих движение диска при колебаниях:

;

(1.3)

Для колебаний с малыми амплитудами общие решения уравнений (1.3) можно найти в форме, выражающей гармоническое движение.

Если в начальный момент времени t = 0 валу сообщается начальный прогиб у = у₀ и угол поворота α =α ₀. а начальные скорости y´ и α ´, частное решение уравнений движения имеет вид:

(1.4)

где p — круговая частота собственных колебаний; и - линейная и угловая амплитуды колебаний. Вычисляем

(1.5)

После подстановки решения (1.4) и величин (1.5) в уравнения движения (1.3) и сокращения на принимая во внимание, что , получим систему двух характеристических уравнений связывающих три неизвестные постоянные величины и :

(1.6)

Эти два уравнения дают возможность определить частоту p и отношение , если только исключить из рассмотрения случай и , соответствующий равновесному состоянию системы. Для этого перенесем вторые члены уравнения (1.6) в правые части и разделим первое уравнение на второе. После несложных преобразований получим одно биквадратное уравнение относительно частоты (уравнение частот):

(1.7)7

где обозначено

. (1.8)

Частотное уравнение дает два значения для квадрата круговой частоты:

(1.9)

Нетрудно установить, что оба корня — вещественные и положительные. Поэтому после извлечения квадратного корня из величины получим два вещественных значения , и . Частоты и называются собственными частотами системы и > . Подставив частоту в одно из уравнений (1.6), безразлично в какое, так как есть корень системы этих уравнений, получим отношение амплитуд первого главного колебания системы

(1.10)

Аналогично, подставляя в уравнения (1, 6) значение , получим для второго главного колебания системы

(1.11)

Частные решения (1.4) примут вид для первого главного колебания

, (1.12)

и для второго главного колебания

(1.13)

В этих решениях остаются неопределенными начальные амплитуды и .Задавая их произвольно, получим две формы главных колебаний, соответствующие частотам и Низшей частоте соответствует положительное значение и форма колебаний для вала с консольно расположенным диском, показанная на Рис. 1.1 а); высшей частоте соответствует отрицательное значение (т. е. при положительном значении начальная угловая амплитуда -отрицательна), и упругая линия вала имеет при этом движении форму, показанную на Рис. 1.1 в).

Соответствующие формы колебаний для вала с диском, расположенным между опорами, показаны на Рис.1.2.

Так как уравнения (1.3) — линейные, то самое общее колебательное движение будет представлять собой результат наложения двух главных колебаний.

Рассмотрим колебание диска в частном случае его расположения посредине между опорами. В этом случае коэффициенты податливости , и система уравнений (1.6) заменяется двумя независимыми уравнениями, позволяющими найти частоты колебаний в плоскости диска без его поворота (Рис. 1.3 а)

(1.14)

и частоту колебаний с поворотом диска без перемещений центра масс диска (Рис. 1.3 в)

(1.15)

Рис 1.2 Две формы собственных изгибных колебаний вала с диском, расположенным между опорами: а — первая форма (частота р1); б вторая форма (частота р2)	Рис 1.3 Две формы собственных изгибных колебаний вала с диском, расположенным посредине пролета: а — симметричные колебания (частота р1); б — кососимметричные или угловые колебания (частота р2)

Отметим еще, что частота колебаний диска определяется по формуле (1.14), при пренебрежении массовым экваториальным моментом инерции диска, и по формуле (1.15) при пренебрежении массой диска . Формулы (1.14) и (1.15) показывают, что частоты собственных изгибных колебаний системы тем ниже, чем больше масса и массовый экваториальный момент инерции диска и чем больше изгибная податливость вала, характеризуемая значениями коэффициентов податливости.

После подстановки значений (1.5) в формулы (1.1) получим выражение для силы и момента , с которыми диск действует на вал в месте крепления

(1.16)