Лабораторная работа № 3. Определение доверительного интервала с доверительной вероятностью

Цель работы

Изучить алгоритмы обработки многократных измерений. Научиться оценивать истинное значение измеряемой величины при многократном измерении с помощью интервалов.

Краткие теоретические сведения

В настоящее время большое распространение получила оценка с помощью интервалов. Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей d_Р случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы задаются доверительной вероятностью и вычисляют соответствующее значение по формулам:

при известном среднекрвадратичном отклонении (СКО) результатов наблюдений,

где – СКО.

или при известной точечной оценке СКО результатов наблюдений

где – точечная оценка СКО

– коэффициент (или дробь) Стьюдента.

Плотность распределения дроби Стьюдента, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:

где S(t, k) – плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n–1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (‑ t_p, +t_p), согласно выражению, вычисляется по формуле:

или, поскольку S(t, k) является четной функцией аргумента t,

Подставив вместо дроби Стьюдента t_p ее выражение через истинное значение результата, точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений, получим окончательно

Величины t_p, вычисленные по этим формулам, были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0, 10 – 0, 99 при k=n–1=1, 2, …, 30. В таблице 5 приведены значения коэффициента Стьюдента t_p для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.

Итог измерений при оценке с помощью интервалов записывается в виде

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.

Таблица 5 – Коэффициент Стьюдента

Если эксперимент состоит в многократном измерении одной и той же величины постоянного размера, то результатом измерения является группа из n независимых показаний (измерений), составляющих массив экспериментальных данных. Главной особенностью измерительного эксперимента, проводимого с использованием статистической обработки полученных данных, является получение и использование большого объема апостериорной измерительной информации.

Таким образом, при практической обработке результатов измерений необходимо последовательно выполнить следующие операции:

1. Задаться значением доверительной вероятности Р;

2. Определить коэффициент Стьюдента tp(n) для выбранной вероятности Р и числа проведенных измерений n;

3. Найти границы доверительного интервала:

4. Записать окончательный результат:

Программа работы

1. Решить задачи 1…3 совместно с преподавателем.

2. Решить задачи 4…7 самостоятельно.

Порядок выполнения практической части лабораторной работы

Задача 1

По результатам пяти наблюдений была найдена длина стержня. Итог измерений составляет L =18, 308 мм, S_L=0.005 мм, причем существуют достаточно обоснованные предположения о том, что распределение результатов наблюдений было нормальным. Требуется оценить вероятность того, что истинное значение длины стержня отличается от среднего арифметического из пяти наблюдений не больше чем на 0, 01 мм.

Решение задачи 1

Из условия задачи следует, что имеются все основания для применения распределения Стьюдента. Вычисляем значение дроби Стьюдента:

Определяем число степеней свободы:

Находим значение доверительной вероятности по табличным данным для k=4 и t_P=2: Р= 0, 8838.

Таким образом, вероятность того, что истинное значение длины стержня отличается от среднего арифметического из пяти наблюдений не больше чем на 0, 01 мм Р= 0, 8838 или составляет 88, 38%.

Итог измерений

Задача 2

В условиях предыдущей задачи найти доверительную границу погрешности результата измерений для доверительной вероятности Р=0, 99.

Решение задачи 2

Определяем по табличным данным значение дроби Стьюдента для k=4 и Р=0, 99: t_P=5, 84.

Следовательно, доверительная граница:

Итог измерений

Задача 3

При измерении температуры Т в помещении термометр показывает 26°С. Среднее квадратическое отклонение показаний σ _Т = 0, 3°С. Систематическая погрешность измерения Δ _S = +0, 5°С. Укажите доверительные границы для истинного значения температуры с вероятностью Р = 0, 9973 (t_P =3).

Решение задачи 3

Истинное значение температуры при исключении систематической погрешности:

Доверительная граница:

Итог измерений

Задача 4

При измерении усилия динамометр показывает 1000 Н, погрешность градуировки равна –50 Н. Среднее квадратическое отклонение показаний σ _F =10 Н. Укажите доверительные границы для истинного значения измеряемого усилия с вероятностью P = 0, 9544 (t_P = 2).

Задача 5

Найти среднее значение расстояния между ориентирами осей здания и доверительный интервал, в котором находится это значение, с доверительной вероятностью 0, 99 при следующих измерениях этого расстояния, м: 18, 124; 18, 127; 18, 121; 18, 122; 18, 131.

Задача 6

Результаты пятикратного измерения диаметра детали D=5, 27 мм. Систематическая погрешность, вызванная износом губок штангенциркуля, составляет +0, 07 мм. СКО результатов измерений σ _D=0, 12 мм. Записать результат измерения при доверительной вероятности P=0, 95.

Задача 7

При определении силы инерции по зависимости F = mּ a измерениями получены значения m = 100 кг и ускорение a = 2 м/с². Средние квадратические отклонения результатов измерений: σ _m = 0, 5 кг, σ _a = 0, 01 м/с². Записать результат определенной силы инерции с вероятностью P = 0, 966 (t_P = 2, 12).

Содержание отчета

1. Титульный лист;

2. Цель и программа работы;

3. Решение задач 1…7;