Приклади задач, що виносяться на екзамен

Задача 1

Фірма приймає рішення про удосконалення продукту, що дасть можливість розширити обсяг продажу (який становить 100 млн. дол.) на 6%. Вартість виробництва при цьому зросте на 10%. Прибуток від приросту продажу зросте на 16%. Існуючі витрати виробництва даного продукту становлять 63% від продажної ціни. Визначте, чи варто фірмі приймати таке рішення.

Розв'язок

1. Визначимо приріст обсягу продажу:

100 млн. × 0, 06 = 6 млн. дол.

2. Визначимо приріст прибутку за рахунок приросту продажу:

6 млн. дол.. × 0, 16 = 0, 96 млн.

3. Визначимо приріст витрат на виробництво:

100 млн. дол. × 0, 63 × 0, 1% = 6, 3 млн. дол.

Висновок: зростання витрат перевищує зростання прибутку, тому таке рішення буде недоцільним.

Задача 2

Фірма планує отримати максимальний прибуток, якщо вона буде випускати продукт А на загальну суму 40 млн. грн. Для випуску зазначеного обсягу продукції можуть бути використані три технології. Інформація про ціни на основні види ресурсів при використанні кожної технології наведена в таблиці. Яку технологію і чому доцільно обрати фірмі за умови таких цін на ресурси?

Розв'язок

Прибуток = Дохід-собівартість

Прибуток за 1 технологією = 40-(3*5+4*2+2*2+2*4) = 5 млн. грн.

Прибуток за 2 технологією = 40-(3*2+4*4+2*4+2*2) = 6 млн. грн.

Прибуток за 3 технологією = 40-(3*3+4*2+2*5+2*5) = 3 млн. грн.

Висновок: Прибуток більший за 2 технологією. Саме її доцільно використати.

Задача 3

Невелике кафе спеціалізується на виготовленні пончиків. З одного пакета борошна виготовляється 24 пончики. Щоденні закупівлі борошна становлять 100 пакетів і для переробки одного пакета необхідно витратити 0, 5 год. робочого часу.

Керівник кафе планує прийняти рішення про підвищення продуктивності праці персоналу (кількості порцій за годину) свого кафе. Для цього розроблені два варіанти:

1. Закупівля більш якісної сировини, в результаті чого з одного пакета можна буде виробити 26 пончиків (при цьому додатково загальні витрати праці зростуть на 8 год.).

2. Впровадження нової системи організації праці, в результаті якої загальні витрати праці знизяться на 5, 6 годин.

Яке рішення слід обрати керівнику?

Розв'язок

1) Розраховуємо фактичну продуктивність праці:

(100× 24) / (100× 0, 5) = 2400/50 = 48 шт/год.

2) Розраховуємо продуктивність за першим варіантом рішення:

(100× 26) / (100× 0, 5 + 8) = 2600/58 = 44, 8 шт/год.

3) Розраховуємо продуктивність за другим варіантом рішенням:

2400/(50-5, 6) = 2400/44, 4 = 54, 05 шт/год.

Висновок: Продуктивність праці підвищиться при другому варіанті рішення. Його і слід приймати.

Задача 4

Оцініть вплив управлінського рішення про запровадження інновацій на продуктивність праці (ПТ) за наступними даними: до їх впровадження середньорічна вартість основних виробничих фондів (ОФ) складала 75 млн. грн., фондовіддача – 0, 35, а чисельність персоналу – 2200 чол.; після відповідно: 60млн. грн., 0, 6, 1950 чол.

Розв'язок

ПТ = Q / ЧП

Q – обсяги виробництва продукції;

ЧП – чисельність персоналу

ФВ = Q / ОФ

ОФ – середньорічна вартість основних фондів

ФВ – фондовіддача

Q = ФВ*Оф

Q₁ = 0, 35*75 = 26, 25 млн.грн – до впровадження інновацій

Q₂ = 0, 6*60 = 36 млн.грн. – після впровадження інновацій

ПТ₁ = 26, 25 /2200 = 0, 012 млн.грн.

ПТ₂ = 36 / 1950 = 0, 018 млн.грн.

Приріст ПТ = 0, 018/0, 012 = 1, 5

Висновок: продуктивність праці після впровадження інновацій підвищиться у 1, 5 рази.

Задача 5

Задано тривалість виготовлення та обробки шістьох деталей (A, B, C, D, E, F) (див. табл.) Використовуючи правило Джонсона визначити оптимальну послідовність запуску деталей у виробництво.

Висновки: таким чином обсяг беззбиткового виробництва у вартісному виразі складатиме 187, 5 тис. грн.

Задача 8

Машинобудівне підприємство планує освоїти випуск одного з трьох видів продукції (А₁, або А₂, або А₃) Однак результати рішень залежать від конкретних обставин: технології виготовлення виробів (S₁), закупівлі та використання спеціального технічного устаткування (S₂), впровадження певної системи управління якістю (S₃). Можливий прибуток, що можна отримати від реалізації кожного виду продукції при певній обставині (тис. грн.) представлений в таблиці.

Завдання: використовуючи методи та критерії теорії статистичних рішень визначити, яку продукцію слід виготовляти підприємству.

Стан природи   Стратегія	S1	S2	S3
A1
A2
A3

р₁ = 0, 3; р₂ = 0, 5; р₃ = 0, 2; к = 0, 6

Методичні вказівки до розв'язання задачі

В задачах теорії статистичних рішень вже існує оцінка реалізації кожного варіанту рішення для кожного стану середовища, в якому воно буде реалізовуватися. Проте зовсім невідомо, який із станів середовища реально виникатиме.

Основні поняття, що використовуються в теорії статистичних рішень:

Стратегія – варіант рішення, що розробляється, наприклад: будувати великий завод, будувати малий завод, нічого не будувати.

Стан природи – стан середовища, в якому можлива реалізація кожної стратегії

Формалізація задачі теорії статистичних рішень здійснюється шляхом побудови матриці стратегій, яка являє собою таблицю, в якій у рядках перелічуються розроблені стратегії, а у стовпчиках – стани природи. В кожній клітинці матриці вказується кількісне значення стратегії (її результат) для кожного стану природи.

Матриця стратегій

Стан природи   Стратегія	S1	S2	S3
A1	----	----	----
A2	----	----	----
A3	----	----	----

Кожній парі сполучень A_i i S_j відповідає визначений результат зазначений в матриці на перетинанні двох показників.

Розглянемо основні правила, за якими приймаються рішення з використанням теорії статистичних рішень

1. Критерій песимізму Ваальда (правило максимін)

Згідно критерію песимізму для кожної стратегії існує найгірший з можливих результатів. Вибирається при цьому така стратегія, яка забезпечує найкращий з найгірших результатів, тобто забезпечує максимальний з можливих мінімальних результатів.

Математично це можна виразити насупною формулою:

Y = max (min R_ij)

де R_ij – значення результату і-ї стратегії при j-му стані природи

2. Критерій оптимізму (правило максимакс)

У відповідності до цього критерію, для кожної стратегії є найкращий з можливих результатів. За допомогою критерію оптимізму вибирається стратегія, яка забезпечує найбільший результат з числа максимально можливих:

Y = max (max R_ij)

3. Критерій коефіцієнту оптимізму (критерій Гурвіца)

В реальності, особа яка приймає рішення, не є абсолютним песимістом або абсолютним оптимістом. Звичайно вона знаходиться десь поміж цими крайніми позиціями. У відповідності до таких передбачень і використовується критерій коефіцієнта оптимізму (k), який виражає ступінь відчуття оптимізму, особою, що приймає рішення.

Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує:

Y = max [(k× max R_ij)+(1-k)× (min R_ij)]

де к – коефіцієнт оптимізму

4. Критерій Лапласа

За допомогою трьох попередніх критеріїв стратегія обиралася, виходячи з оцінки результатів станів природи і практично не враховувалися ймовірності виникнення таких станів. Критерій Лапласа передбачає розрахунки очікуваних ефектів від реалізації кожної стратегії, тобто суми можливих результатів виникнення кожного стану природи помножених на ймовірності появи кожного з них. Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує максимальний очікуваний ефект:

)

P_j – ймовірність настання j-го стану природи

5. Критерій Севіджа (критерій жалю)

Використання цього критерію передбачає, що особа, яка приймає рішення, має мінімізувати свої втрати при виборі стратегії. Іншими словами вона мінімізує свою потенційну помилку при виборі неправильного рішення. Використання критерію жалю передбачає:

1) побудову матриці втрат. Втрати (bij) при цьому розраховуються окремо по кожному стовпцю матриціза формулою:

b_ij = (max R_ij)– R_ij

де max R_ij – максимальне значення результату по кожному стовпцю

R_ij – поточне значення результату

2) вибір кращої стратегії за формулою:

Y = min (max b_ij)

Розв'язок

1. Приймаємо рішення за критерієм песимізму (правило максимін)

Мінімальне значення стратегії А₁ дорівнює 115, А₂ – 110, А₃ – 130. Максимальним із мінімальних значень має стратегія А₃ Саме її за цим критерієм і потрібно реалізовувати.

2. Приймаємо рішення за критерієм оптимізму (правило максимакс)

Максимальне значення стратегії А₁ дорівнює 140, А₂ – 145, А₃ – 165. Найбільшим з максимальних значень є А₃ – 165. Цю стратегію потрібно реалізовувати.

3. Приймаємо рішення за критерієм Гурвіца

Y₁ (Стратегія А₁) = (0, 6*140) + (0, 4*115) = 84 + 46 = 130

Y₂ (Стратегія А₂) = (0, 6*145) + (0, 4*110) = 87 + 44 = 131

Y₃ (Стратегія А₃) = (0, 6*165) + (0, 4*130) = 99 + 52 = 151

Максимальне значення має стратегія А₃ – 151. Її потрібно обирати

4. Приймаємо рішення за критерієм Лапласа

Y₁ (Стратегія А₁) = (140*0, 3)+(120*0, 5)+(115*0, 2) = 42+60+23 = 125

Y₂ (Стратегія А₂) = (145*0, 3)+(125*0, 5)+(110*0, 2) = 43, 5+62, 5+22 = 128

Y₃ (Стратегія А₃) = (165*0, 3)+(130*0, 5)+(150*0, 2) = 49, 5+65+30 = 144, 5

Максимальне значення має стратегія А₃ – 144, 5. Її потрібно обирати

5. Приймаємо рішення за критерієм Севіджа (критерій жалю)

Розрахунок втрат

Визначаємо max b_ij:

Стратегія А₁ – 35;

Стратегія А₂ – 40;

Стратегія А₃ – 0

Мінімальним з цих значень є значення стратегії А₃ – 0. Її слід обирати.

Таким чином, однозначно за усіма критеріями потрібно обирати стратегію А₃

Задача 9

Підприємство планує прийняти рішення про поставки по бартеру 95 тонн металу. Затрати на 1 тонну з урахуванням транспорту та інших витрат складають 1 тис. грн. В обмін на метал підприємство планує отримати 34 персональних комп’ютера. Ціна одного комп’ютера на внутрішньому ринку – 2 тис. грн.

Визначте показники ефективності цієї бартерної операції (економічний ефект та показник економічної ефективності).

Виходячи з отриманих результатів, дайте відповідь на питання, чи є ефективною така бартерна операція для підприємства – виробника металу. Чому повинен дорівнювати показник економічної ефективності, щоб дана операція була мінімально ефективною?

Розв'язок:

Економічний ефект від бартерної операції становитиме:

Показник економічної ефективності бартерної операції: .

Щоб така операція була мінімально ефективною, показник економічної ефективності повинен дорівнювати 1 (100%). Таким чином, можна зробити висновок про ефективність або неефективність експортно-імпортної операції. В нашому випадку експортно-імпортну операцію не можна назвати ефективною. Про це свідчить і відхилення показника економічної ефективності від мінімально можливого на 28%, і від’ємне значення показника економічного ефекту.

Задача 10

Є три варіанти рішення: будувати великий, малий завод, нічого не будувати.

Імовірність сприятливого ринку і несприятливого — 50: 50, тобто кожний стан середовища має шанс 0, 5: 0, 5.

1. Великий завод при сприятливому ринку дасть прибуток у 100 тис. грн, при несприятливому збитки будуть 90 тис. грн.

2. Малий завод при сприятливому ринку буде мати прибуток у 50 тис. грн., при несприятливому, збитки становитимуть у 10 тис. грн.

3. Нічого не будувати — результати будуть нульові.

Побудувати дерево рішень і вибрати найкращий варіант.

Розв'язання

Найкраще рішення — це вибір варіанту, який принесе максимальний прибуток. Такий варіант визначається через очікувану грошову віддачу (ОГВ), тобто суму можливих поступок (віддач) варіанту, яка зважена на ймовірність появи віддачі.

ОГВ (Варіанти і) = (Віддача по 1-му стану природи) х (Ймовірність 1-го стану природи) + (Віддача по 2-му стану при­роди) х (Ймовірність 2-го стану природи) +... + (Віддача по n-му стану природи) х (Ймовірність n-го стану природи)

ОГВ1 = 0, 5 * 100000 + 0, 5 * (-90000) = 50000- 45000 = 5000 грн.

ОГВ2 = 0, 5 * 50000 + 0, 5 * (-10000) = 25000-5000 = 20000 грн.

ОГВ3 = 0, 5 * 0 + 0, 5 * 0 = 0 тис. грн.

Відповідь: Максимальна ОГВ є у другому варіанті, тобто рішення слід приймати по будівництву малого заводу

Задача 11

Продавець продуктів харчування має вибір, зайняти як місце свого розташування або ділянку А (у місті), або ділянку Б (у сільській місцевості). Дані про доходи та витрати наведені в таблиці (тис. грн.) Яке місце розміщення оптимальне?

Розв'язок:

Розрахуємо та порівняємо витрати та прибуток для обох варіантів розташування підприємства. Результати занесемо в таблицю:

Висновок: Перевагу потрібно віддати варіанту Б (розташування у селі).

Задача 12

Два населених пункти (А и Б) з кількістю населення 3 й 1 тис. чол. розташовані на відстані 5 км один від одного. У кожному з них - по одному торговому центру. Визначити рівноймовірну (50: 50) границю між зонами торгівельного обслуговування

Розв'язок

Розрахунок виконується за формулою:

де d- відстань між роздрібними системами, км

Ча, Чб - кількість населення в більшому й меншому населеному пункті, тис. чол.

Висновок: рівно імовірна границя між магазинами становить 1, 8 км від торгового центра Б.

Задача 13

Начальник цеху планує прийняти рішення про підвищення кваліфікації робітників, що працюють на одній із дільниць цеху. Дані про кваліфікаційний рівень робітників та трудомісткість (кваліфікацію) робіт представлені в таблиці. На основі даних, наведених в таблиці розрахувати середній кваліфікаційний розряд робіт та робітників, виконуючих ці роботи. Встановити відповідність кваліфікаційного рівня робітників роботі, що вони виконують. На основі результатів розрахунків встановити, чи доцільно керівнику приймати рішення про підвищення кваліфікації робітників

Розв'язок

Для розрахунків використовуємо метод середньої арифметичної зваженої.

1) Середній тарифний розряд робочих:

Тр – середній тарифний розряд робітника; Тр_і – тарифний розряд і-го робітника; Rp_i– чисельність робітників і-го розряду; Rp – загальна чисельність робітників

Тр =(0*1+2*2+3*3+4*4+6*5+5*6)/20 = (4+9+16+30+30) / 20 = 4, 45

2) Середній тарифний розряд робіт

Тр – середній тарифний розряд роботи; Тр_і – тарифний розряд і-ї роботи; V_i – обсяг і-ї роботи (нормо-годин); V – загальний обсяг робіт.

Т_р = (1*0+2*13100+3*16540+4*17100+5*20000+6*19000)/ (13100+16540+17100+20000+19000) = (26200+49620+68400+100000+114000)/ 85740 = 358220/85740=4, 18

3) коефіцієнт співвідношення К = 4, 45/4, 18 = 1, 06

Висновок: середній тарифний розряд робітників вище, ніж тарифний розряд робіт, що вони виконують. Приймати рішення про підвищення кваліфікації не доцільно. Працівникам потрібно доручати більш складну роботу.

Задача 14

Методом калькуляції ПОД (профілактика, оцінювання, дефекти) оцінити витрати підприємства на якість та проаналізувати їх структуру на основі наступних даних:

- витрати на метрологічне забезпечення виробництва (ПЗК) – 56 млн.. грн.

- витрати на випробування та сертифікацію (ОЗК) – 7 млн. грн.

- витрати, пов'язані з дефектами на виробництві (ДЗК) – 19 млн. грн.

- витрати, пов'язані з поверненням недоброякісної продукції (ЗКВш) – 12 млн. грн.

Розв'язок.

1. Розраховуємо загальну суму витрат на якість продукції

ЗК∑ = ЗКВу+ЗКВш

де ЗКВу – витрати на якість внутнішні

ЗКВУ = ПЗК + ДЗК + ОЗК

ЗКВу = 56 + 19 + 7 = 82 млн. грн.

ЗК∑ = 82 + 12 = 94 млн. грн.

2. Розраховуємо структуру витрат на якість.

Питома вага витрат невідповідності: (19+12)/ 94*100 = 33%.

Висновок: Підприємство третину витрат на якість несе для того, щоб усунути втрати, пов᾽ язані з дефектами. Це невигідне вкладення засобів. Слід підвищити операційний контроль якості з метою виключення надходження неякісної продукції споживачу.