Основные сведения. Системы автоматического регулирования всегда находятся под влиянием двух видов воздействий: задающего и возмущающего

Системы автоматического регулирования всегда находятся под влиянием двух видов воздействий: задающего и возмущающего. Задающее воздействие определяет, каким должен быть выходной процесс, и оно единственное. Возмущающих воздействий может быть много и прикладываются они к различным точкам системы, но в линейных системах всех их можно привести к входу и заменить одним, более или менее сложным, возмущающим воздействием.

В следящей системе требуется, чтобы выходной процесс y (t) совпадал с задающим воздействием x _з(t). Разница между ними является ошибкой δ (t) = x _з(t) – y (t). Модель для расчета ошибки приведена на рис. 23.

d(t) x з(t) y (t) x в(t) x з(t) К з(р) К р(р)

Рис. 23

Изображение ошибки

Δ (p) = X _з(p) – Y (p) = X _з(p) – [ X _з(p) + X _в(p)] K _з(р) =

= [1 – K _з(p)] X _з(p) – K _з(p) X _в(p) = K _ош(p) X _з(p) – K _з(p) X _в(p). (10)

Как видим, ошибка состоит из двух составляющих. Первая зависит от задающего воздействия и будет отсутствовать, если К _з(j ω) = 1 во всем диапазоне частот, занятых спектром задающего воздействия. На практике частотная характеристика К _з(j ω) отличается от 1 в области верхних частот. Значит, будут с ошибкой отрабатываться высокочастотные изменения задающего воздействия, и ошибка поэтому называется динамической. Вторая составляющая связана с возмущающим воздействием и появляется, если в области частот, занятых спектром возмущающего воздействия, АЧХ замкнутой системы будет отлична от нуля.

Ошибка может определяться при самых разнообразных задающем и возмущающем воздействиях. Обычно воздействие берется одним из типовых: скачкообразным, гармоническим, полиномиальным или стационарным случайным процессом. Рассмотрим ошибки при двух последних воздействиях.

Если задающее воздействие является медленно меняющимся процессом, то в течение некоторого временного интервала его можно описать полиномом: x _з(t) = α ₀ + α ₁ t + α ₂ t ² +… Ошибку удобно представить в виде ряда по производным входного воздействия:

,

где коэффициенты S_i определяются по передаточной функции ошибки К _ош(p):

.

Если S ₀ ≠ 0, система называется статической, если S ₀ = 0, – астатической. Число первых нулевых коэффициентов определяет порядок астатизма.

Ниже в таблице приведены выражения для первых трех коэффициентов для систем с различными передаточными функциями К _р(р).

Тип системы	Статическая	Астатическая 1-го порядка	Астатическая 2-го порядка
K p(p)	K (1+ p)(1+ pT)	K p (1+ pT)	K (1+ p) P 2(1+ pT)
S 0	1+ K
S 1	K (1+ T) (1+ K)2	K
S 2	K [(1+ K) T -(1+ T)2] (1+ K)3	KT – 1 K 2	K

Практический интерес представляют ошибки для каждого из слагаемых полиномиального воздействия. Если воздействие постоянно (x _з = = x ₀), то ошибку называют статической δ _ст; если x _з(t) = V_xt, – скоростной δ _ск, а при x _з(t)= а _x t ²/2 – ошибкой по ускорению δ _уск. Так как эти воздействия имеют конечное количество производных, то ошибки определяются первыми членами ряда:

δ _ст = S ₀ x ₀,

δ _ск = S ₀ V_xt + S ₁ V_x, (11)

δ _уск = S ₀ a_xt ²/2 + S ₁ a_xt + S ₂ a_x.

Для расчета этих ошибок надо знать только три первых коэффициента.

На рис. 24 показано, как отрабатываются постоянное и линейное воздействия в статической и астатических системах. Видим, что статическая система обладает наибольшими ошибками. Чем выше порядок астатизма, тем точнее система отрабатывает полиномиальное воздействие.

б а Стат Стат Аст1 Аст2 Аст t t y (t) y (t) x (t) = Vxt x (t) = x 0 y y x x

Рис. 24

Рассмотрим теперь ошибки при случайных воздействиях. Задающее воздействие описывается медленно меняющимся случайным процессом, спектральная плотность S_{x з}(ω) которого сосредоточена в области низких частот. Возмущающее воздействие является широкополосным процессом со спектральной плотностью S_{x в}(ω), и его часто считают белым шумом. Если задающее и возмущающее воздействия некоррелированы, то в соответствии с выражением (10) энергетический спектр динамической ошибки

S _дин(ω) = S_{x з}(ω)| К _ош(j ω)|².

Дисперсия динамической ошибки

.

Дисперсия ошибки по возмущению

.

Рассмотрим, как влияет тип системы (статическая или астатическая) на ошибки при случайных воздействиях. На рис. 25, а изображены ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы для трех типов систем, передаточные функции которых приведены в таблице. Эти характеристики различаются лишь в области нижних частот, а в области средних и верхних частот одинаковы. Если коэффициент передачи разомкнутой системы К достаточно большой, то

и АЧХ замкнутой системы для всех трех типов будут близки друг к другу (см. рис. 25, б). Следовательно, статическая и астатические системы будут иметь примерно одинаковые ошибки.

б а Аст2 Аст1 Стат К з(w) 0, 5 К 0, 1 w, рад/с Стат Аст1 Аст2 0, 1 w, рад/с -p j, рад L, дБ

Рис. 25

Как правило, изменение какого-либо параметра системы (коэффициента передачи К или постоянной времени Т) приводит к противоположному изменению дисперсий динамической ошибки и ошибки по возмущению. Рассмотрим это на примере астатической системы первого порядка.

Допустим, задающее воздействие формируется из белого шума с спектральной плотностью S _з0 пропусканием его через интегрирующую цепь с постоянной времени T_x. Тогда дисперсия задающего воздействия

.

Для расчета дисперсии динамической ошибки нужно знать частотную характеристику ошибки К _ош(j ω):

.

Дисперсия динамической ошибки:

.

Вводя относительные величины α = 1/ T_x и β = T/T_x и учитывая выражение для дисперсии задающего воздействия, получаем:

. (12)

Видим, что при К = 0 дисперсия динамической ошибки равна дисперсии задающего воздействия. Это объясняется тем, что при К = 0 выходной процесс y (t) = 0 и ошибка становится равной задающему воздействию. С увеличением коэффициента передачи К дисперсия уменьшается и стремится к постоянной величине, равной β. На первый взгляд может показаться, что получен результат, противоречащий здравому смыслу. Ведь с увеличением коэффициента передачи разомкнутой системы расширяется полоса пропускания замкнутой системы, значит, должны лучше отрабатываться высокочастотные составляющие задающего воздействия, и ошибка должна стремиться к нулю. Но никакого противоречия нет. Результат объясним, если учесть форму частотной характеристики ошибки. С увеличением К уменьшается запас устойчивости по фазе и, следовательно, увеличивается подъем АЧХ замкнутой системы в области верхних частот. А так как К _ош(j ω) = 1 – К _з(j ω), то уменьшение спектральной плотности задающего воздействия компенсируется увеличением модуля частотной характеристики ошибки.

Дисперсия ошибки по возмущению при условии, что возмущающее воздействие является белым шумом со спектральной плотностью S _в0, равна:

.

Дисперсия пропорциональна коэффициенту передачи разомкнутой системы и не зависит от постоянной времени Т. Это объясняется следующим образом. При малом К, когда К < 1/ T, частота среза равна К и полоса пропускания замкнутой системы растет пропорционально К. Когда К > 1/ T, частота среза увеличивается в меньшей степени, чем растет К, но из-за уменьшения запаса устойчивости по фазе в АЧХ замкнутой системы появляется подъем в области верхних частот. Это иллюстрируется частотными характеристиками, представленными на рис. 26. Площадь под | К _з(j ω)|² остается неизменной, а именно она определяет дисперсию ошибки по возмущению.

Дисперсия суммарной ошибки при некоррелированных задающем и возмущающем воздействиях σ ²_Σ = σ ²_дин + σ ²_воз. Зависимость дисперсий

w, рад/с К з(w) Т = 0 Т = 0, 02с Т = 0, 05с Т = 0, 1с К L р(w) w, рад/с L, дБ

Рис. 26

ошибок от коэффициента передачи К приведена на рис. 27.Видим, что существует оптимальный коэффициент передачи К, при котором дисперсия суммарной ошибки минимальна, хотя этот оптимум не очень ярко выражен и при изменении коэффициента передачи в 2 раза дисперсия практически не изменяется. Если задающее и возмущающее воздей

s2дин s2воз s2S К s2 1, 0 0, 5

Рис. 27

ствия коррелированы, то при расчете ошибок нужно учесть составляющие, связанные с взаимными энергетическими спектрами воздействий.

Исследование проводится параллельно на трех идентичных моделях (рис. 28). Модель содержит два линейных звена, задаваемых передаточными функциями. Передаточную функцию второго звена принять равной К/ (1 + pT), а первого – в зависимости от типа системы: для статической – 1/(1 + p), для астатической первого порядка – 1/ p, для астатической второго порядка – (1 + р)/ p ².

Рис. 28

На вход системы можно подать любое из воздействий: постоянное, линейное, квадратичное или узкополосный случайный процесс, подсоединив выход соответствующего блока к входу системы.

Дополнительная информация по тематике лабораторной работы изложена в [1, §§6.4, 6.5, 6.6], [3, §2.3].