Определения несобственных интегралов первого рода

Понятие о несобственных интегралах. Несобственные интегралы первого рода

Подход к понятию о несобственных интегралах

Известны достаточные условия существования определённого интеграла

1) f (x) непрерывна или кусочно-непрерывна , то есть может иметь конечное число точек разрыва первого рода;

2) в определении определенного интеграла существенно использование

конечного промежутка , рис. 1.

Если окажется, во-первых, что промежуток по x является бесконечным или полубесконечным, или, во-вторых, промежуток по x конечен, но подынтегральная функция имеет на нем точки разрыва второго рода, то получаются несобственные интегралы первого рода или второго рода.

Определения несобственных интегралов первого рода

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода — интегралы по бесконечному или полубесконечному промежутку интегрирования. Они имеют один из следующих трех видов:

Определения несобственных интегралов и формулируются через пределы определенных интегралов (рис. 2, 3).

1.

Рис. 2

Геометрически интегралом , где , может вычисляться площадь плоской фигуры, не имеющей границы при .

2.

Рис. 3

Геометрически интегралом , где , аналогичен смыслу предыдущего интеграла.

Если пределы, записанные в определениях интегралов и , существуют и являются конечными, то эти интегралы называются сходящимися несобственными интегралами и имеют численное значение, равное этому конечному пределу.

Если же записанные пределы не существуют или являются бесконечными, то интегралы называются расходящимися несобственными интегралами и численного значения не имеют.

Несобственный интеграл определяется через два предыдущие интеграла следующим образом:

где c – это любое фиксированное значение х.

Интеграл называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла и ; его значение в этом случае равно сумме значений этих интегралов.

Интеграл называется расходящимся и численного значения не имеет, если расходится хотя бы один из интегралов (–¥; c ] или [ c; +¥).

Геометрическая трактовка интеграла приведена на рис. 4.

Пример несобственных интегралов первого рода

1) =

Ответ: сходится и имеет значение, равное 1, или

2) =

Ответ: расходится и численного значения не имеет.

3)

Ответ: сходится и имеет значение, равное , т.е