![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры решения задач. Пример 1. Уравнение движения тела вдоль оси Ох имеет вид: x = 2 + 15t + 0,4t2 + 6t3
Пример 1. Уравнение движения тела вдоль оси Ох имеет вид:
Решение: На рис. 1 показаны начальнаяи конечная координаты, векторы скорости Из уравнения движения тела определим его начальную и конечную координаты: хo = 2 м, хt= 2 с = 81, 6 м. Пройденный путь равен разности значений координат хt = 2 си хo: S = хt = 2 с – хo. (1) Отсюда S = 79, 6 м. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдём, продифференцировав координату х по времени: u = x' = 15 + 0, 8 t + 18 t2. (2) Мгновенное ускорение в произвольный момент времени – производная от скорости по времени: a = u' = 0, 8 + 36 t. (3) В соответствии с (2) и (3) для момента времени t =2 с: ut =2с = (15+0, 8× 2 +18× 22) м/с = 88, 6 м/с, аt =2с = (0, 8 + 36× 2) м/с2 = 72, 8 м/с2. Ответ: хo = 2 м; хt =2 с = 81, 6 м; S = 79, 6 м; ut =2 с = 88, 6 м/с; аt =2 с = 72, 8 м/с2.
Пример 2. Колесо радиусом R = 50 см вращается равноускоренно
Решение: На рис. 2 изображены векторы, характеризующие вращение колеса по часовой стрелке, в произвольный момент времени. Направления векторов скорости Согласно определению угловая скорость w равноускоренного вращательного движения w =wo+ ε t. Поскольку wo = 0, то w = ε t. (1) Линейная скорость колеса связана с его угловой скоростью u = w R. (2) Подставив (1) в (2), получим u = ε R t. (3) Откуда u = 1, 26∙ 0, 5∙ 20 м/с = 12, 6 м/с. Нормальное (центростремительное) ускорение находим по формуле
Следовательно, Тангенциальное (касательное) ускорение at = ε R. (5) Числовое значение at = 12, 6∙ 0, 5 м/c2 = 0, 63 м/с2. Ответ: u = 12, 6м/с; an = 317, 5 м/с2; at = 0, 63 м/с2. Пример 3. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массой m1 = 250 г. Тело массой m2 = 400 г подвешено на невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок и привязанной к телу массой m1. Пренебрегая массой блока и трением, определить силу натяжения нити Fнат; ускорение а тел; путь S, пройденный телами за время
Решение: На рис. 3 показаны силы, действующие на тела m1 и m2: Из условия невесомости и нерастяжимости нити следует, что сила натяжения нити на всех участках одинакова и грузы движутся с одним и тем же ускорением. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для обоих тел:
Выбираем направление осей Ох и Оy по направлению вектора ускорения
Отсюда
Числовое значение ускорения Из (2) вычислим значение силы натяжения Fнат = 0, 25∙ 6, 04 Н = 1, 51 Н. Учитывая, что uo = 0, путь при равноускоренном движении
Таким образом, за время t = 0, 2 с пройденный путь
Ответ: Fнат = 1, 51 Н; а = 6, 04 м/с2; S = 12 см.
Пример 4. Человек массой m = 70 кг поднимается в лифте, движущемся равномерно (а1 = 0). Определить вес человека Р1. Во сколько раз изменится его вес, если лифт поднимается с ускорением а2 = 1 м/с2?
Решение: На человека, находящегося в движущемся лифте, действуют сила тяжести
В скалярной форме ma = - mg +N. (2) При равномерном подъёме (ускорение а1 = 0) уравнение (2) примет вид N1 = mg, (3) где N1 – сила реакции опоры, действующая на человека, поднимающегося в лифте равномерно. На основании третьего закона Ньютона вес человека равен силе реакции опоры
Вес
При равномерном подъёме Р1 = 700 Н. При равноускоренном подъёме (а2 = 1 м/с2) уравнение (2) запишем в виде ma2 = – mg + N2, (6) где N2 – сила реакции опоры при подъёме с ускорением. Откуда N2 = m(g +a2). (7) Вес тела при равноускоренном подъёме Р2 = N2 = m(g +a2). (8) Отношение Ответ: Р1 = 700 Н, при подъёме с ускорением вес тела увеличится в 1, 1 раза.
Пример 5. Геостационарный искусственный спутник Земли " висит" над одной точкой экватора и делает полный оборот вокруг Земли за время Т = 24 часа (рис. 5). На какую высоту запущен спутник? Каковы скорость и ускорение его движения на данной высоте? Радиус Земли
Решение: Поскольку на спутник действует только гравитационная сила, то второй закон Ньютона для спутника имеет вид
где Центростремительное ускорение находим по формуле
где М – масса Земли. Подставляя (2) и (3) в (1), получим:
Отсюда На основании формулы (3) ускорение свободного падения у поверхности Земли
Преобразуем (5) GM = goR2. (6) С учётом (6) выражение (4) принимает вид
При равномерном вращении с периодом Т скорость спутника
Из формул (7) и (8) находим высоту спутника Н над Землей
Откуда
Следовательно, Н = 35930 км. Зная Н, по формуле (8) находим u = 3, 07 км/с. Ускорение спутника равно ускорению силы тяжести на высоте Н
Соответственно g = 0, 22 м/с2. Ответ: Н = 35930 км; u = 3, 07 км/с; g = 0, 22 м/с2.
Пример 6. Какую силу F1 нужно приложить к середине бревна в точке А (рис. 6а), чтобы закатить его на ступеньку высотой, равной
Решение: При закатывании бревна на ступеньку сила Модуль момента силы F1 относительно точки С M1 = F 1 l1, (1) где Таким образом,
Модуль момента силы тяжести относительно точки С M2 = m g l2, (3) где l2 – плечо силы тяжести. По теореме Пифагора находим плечо силы тяжести
Условием перекатывания бревна будет равенство моментов М1 и М2, то есть m g l2 = F1 l1 (5) или
Откуда
После расчёта получим: F1 = 0, 57∙ 500 Н = 288, 7 Н. При поднятии груза равномерно вверх сила F2 = mg. (8) Отсюда F2 = 50∙ 10 Н = 500 Н. Ответ: F1 = 288, 7 Н; F2 / F1 = 1, 73, т.е. бревно легче закатить на ступеньку, чем поднять на высоту самой ступеньки.
Пример 7. Молотильный барабан, момент инерции которого
Решение: На рис. 7 указаны направления векторов, характеризующих равнозамедленное вращение барабана. Замедленное вращение барабана совершается под действием постоянного тормозящего момента Согласно закону изменения момента импульса произведение момента силы, действующего на барабан, и времени действия этого момента, равно изменению момента импульса барабана:
где wо и w – начальная и конечная угловые скорости. В момент остановки w = 0, поэтому Отсюда
Поскольку угловая скорость связана с частотой вращения соотношением
то получаем расчётную формулу для тормозящего момента
Следовательно, Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие. Ответ: Мтр = –19 Н∙ м.
Пример 8. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой m2 перпендикулярно берегу, обращённая к нему носом. На носу лодки стоит человек массой m1. На какое расстояние S лодка приблизится к берегу, если человек перейдёт с носа на корму лодки (рис. 8).
Решение: Считаем, что человек идёт по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также будет двигаться равномерно, но в противоположную сторону. При движении импульс человека
где Импульс лодки
где В системе отсчёта, связанной с берегом, скорость лодки
Учитывая, что человек движется относительно лодки и вместе с лодкой, скорость человека относительно берега
Система " лодка-человек" является замкнутой, так как внешние силы (сила тяжести и выталкивающая сила) скомпенсированы. Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения импульса. Поскольку до начала перемещения человека импульс системы равен нулю, то закон сохранения импульса запишем в виде
Проецируем импульсы
Получаем искомую расчётную формулу
Ответ:
Пример 9. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска, стоит человек массой m2 = 80 кг. Масса платформы m1 = 240 кг, её радиус R = 2 м. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. Пренебрегая трением, найти, с какой частотой будет вращаться платформа, если человек пойдёт вдоль её края со скоростью u =1 км/ч.
Решение: Система " человек – платформа" является замкнутой, так как моменты внешних сил (силы тяжести и силы реакции опоры), действующих на эту систему относительно оси ОО¢, являются уравновешенными. Для такой системы выполняется закон сохранения момента импульса
где До начала движения человека момент импульса системы относительно неподвижной оси ОО', связанной с полом,
При движении человека вдоль края платформы момент импульса всей системы
где J1 и J2 – моменты инерции платформы и человека, Угловые скорости На рис. 9 показаны векторы моментов импульсов платформы Момент инерции платформы находим по формуле
Считая, что масса человека сосредоточена в точке касания с платформой, его момент инерции
Человек движется относительно платформы и вместе с ней, поэтому его угловая скорость относительно оси ОО¢, связанной с полом, w2 = (wo2 – w1), (6) где Следовательно,
Согласно закону сохранения момента импульса (1) для системы " человек – платформа" и формулам (2), (3)
Спроецируем векторы I1w1 – I2w2 = 0. С учётом выражений (4) и (8) имеем
Отсюда
Используя связь между угловой скоростью w и частотой n
Подставив числовые значения в (11), найдём
Ответ: n1 = 0, 53 мин–1.
Пример 10. Молот массой m = 200 кг падает с высотой h = 20 см на заготовку, масса которой вместе с наковальней составляет М = 2500 кг. Найти: кинетическую энергию молота в момент удара Wк1; энергию Wк2, переданную системе " молот – заготовка – наковальня"; полезную энергию, необходимую для деформации заготовки Е д; коэффициент полезного действия удара η. Удар молота о заготовку рассматривать как неупругий.
Решение: Если пренебречь силами сопротивления, то систему " молот– Земля" можно считать замкнутой. Падение молота происходит под действием силы тяжести, следовательно, к системе " молот – Земля" можно применить закон сохранения механической энергии. Потенциальная энергия молота mgh в конце падения с высоты h переходит в его кинетическую энергию Wк1. mgh= Wк1. (1) Подставляя числовые значения, получаем: Wк1 = 200∙ 10∙ 0, 2 Дж = 400 Дж. Система " молот – заготовка – наковальня" является замкнутой, но неконсервативной, поэтому можно считать, что энергия, затраченная на деформацию заготовки, равна разности значений механических энергий до и после удара. Во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, так как незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда полезная энергия, затраченная на деформацию (ковку), Е д = Wк1 – Wк2, (2) где Wк2 – кинетическая энергия системы после удара. Для определения кинетической энергии, переданной системе, необходимо знать её скорость после удара. Применим закон сохранения импульса для этой системы в момент удара:
где Уравнение (3) запишем в скалярной форме mu = (m+M) u. (4) Отсюда
Кинетическая энергия системы после удара
Из выражений (5) и (6) получим формулу для Wк2:
Отсюда Согласно формуле (2) энергия, затраченная на деформацию (ковку), Е д = (400 – 29, 6) Дж = 370, 4 Дж. Коэффициент полезного действия определим как отношение полезной энергии, затраченной на деформацию, к полной энергии Wк1:
Соответственно, кпд Ответ: Wк1 = 400 Дж; Wк2 = 29, 6 Дж; Е д = 370, 4 Дж; η = 93 %.
Пример 11. Шар, катившийся со скоростью u1 = 3 м/с, ударился о стену и покатился назад со скоростью u2 = 2 м/с (рис. 11). Масса шара m = 3 кг. На сколько изменилась кинетическая энергия шара? Какая часть энергии шара перешла во внутреннюю энергию стены?
Решение: Кинетическая энергия шара при качении складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движения. Кинетическая энергия поступательного движения
где u – скорость поступательного движения центра масс шара. Кинетическая энергия вращательного движения
где w – угловая скорость вращения относительно центра масс. Момент инерции шара
Линейная u и угловая w скорости связаны соотношением
Используя формулы (1), (2), (3) и (4), выразим кинетическую энергию катящегося шара
Кинетические энергии шара до и после удара соответственно равны:
Изменение кинетической энергии ∆ Wк = Wк2 – Wк1. (6) Подставив в (6) выражения для Wк1 и Wк2 , получим . Отсюда ∆ Wк = 0, 7∙ 3∙ (22 – 32) Дж = –10, 5 Дж. Знак " –" указывает на уменьшение кинетической энергии. Во внутреннюю энергию, связанную с неупругой деформацией стенки, перешла энергия ∆ Wк. Вычислим кинетическую энергию шара до удара: Следовательно: Ответ: ∆ Wк = –10, 5 Дж; Молекулярная физика. Термодинамика
|