ИДЗ-1.2

Индивидуальные домашние задания к гл. 1

Идз-1.1

1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель : а) разложив его по элементам -й строки; б) разложив его по элементам -го столбца; в) получив предварительно нули в -й строке.

1.1 , 1.2 , 1.3 , 1.4 ,

1.5 , 1.6 , 1.7 , 1.8 ,

1.9 , 1.10 , 1.11 , 1.12 ,

1.13 , 1.14 , 1.15 , 1.16 ,

1.17 , 1.18 , 1.19 , 1.20 ,

1.21 , 1.22 , 1.23 , 1.24

1.25 1.26 1.27 1.28

1.29 1.30

2. Даны две матрицы и . Найти а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2.1 2.2

2.3 2.4

2.5 2.6

2.7 2.8

2.9 2.10

2.11 2.12

2.13 2.14

2.15 2.16

2.17 2.18

2.19 2.20

2.21 2.22

2.23 2.24

2.25 2.26

2.27 2.28

2.29 2.30

ИДЗ-1.2

1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

1.1 1.2 1.3 1.4

1.5 1.6 1.7

1.8 1.9 1.10

1.11 1.12 1.13

1.14 1.15 1.16

1.17 1.18 1.19

1.20 1.21 1.22

1.23 1.24 1.25

1.26 1.27 1.28

1.29 1.30

2. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным способом); в) методом Гаусса.

2.1 2.2 2.3

2.4 2.5 2.6

2.7 2.8 2.9

2.10 2.11 2.12

2.13 2.14 2.15

2.16 2.17 2.18

2.19 2.20 2.21

2.22 2.23 2.24

2.25 2.26 2.27

2.28 2.29 2.30

3. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

3.1 3.2 3.3

3.4 3.5 3.6

3.7 3.8 3.9

3.10 3.11 3.12

3.13 3.14 3.15

3.16 3.17 3.18

3.19 3.20 3.21

3.22 3.23 3.24

3.25 3.26 3.27

3.28 3.29 3.30

4. Построить фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы алгебраических уравнений.

4.1 4.2

4.3 4.4

4.5 4.6

4.7 4.8

4.9 4.10

4.11 4.12

4.13 4.14

4.15 4.16

4.17 4.18

4.19 4.20

4.21 4.22

4.23 4.24

4.25 4.26

4.27 4.28

4.29 4.30

Вопросы для самопроверки

1. В каком месте матрицы расположен элемент ?

2. Может ли матрица состоять из одного столбца?

3. Могут ли быть равными квадратные матрицы, одна из которых третьего, а вторая четвертого порядка?

4. Можно ли найти сумму двух матриц, одна из которых размера , а вторая ?

5. Существует ли произведение матриц

6. Если матрицы и можно умножить, следует ли из этого, что их можно сложить? А обратно?

7. Можно ли найти произведение двух матриц одна из которых квадратная, а другая – нет?

8. Если и существуют, то можно ли утверждать, что это матрицы одного размера?

9. Может ли произведение двух ненулевых матриц быть нулевой матрицей?

10. Могут ли совпадать матрицы и ?

11. Чем отличается минор от алгебраического дополнения ?

12. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы быть равными соответствующим минорам?

13. Верно ли что если то Если то Если то

14. Пусть матрица содержит минор пятого порядка, отличный от нуля. Что можно сказать о ранге матрицы?

15. Чему равен определитель треугольной матрицы?

16. Может ли ранг матрицы быть равным 0? Меньше 0? Равен 2, 5?

17. Может ли ранг матрицы равняться четырем?

18. Пусть квадратная матрица 7-го порядка. Что можно сказать о ранге матрицы , если

19. Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной произвольной строки?

20. Какие еще методы построения обратной матрицы известны?

Вопросы для самопроверки

1. К какой системе линейных уравнений применено правило Крамера?

2. Применим ли метод обратной матрицы к неопределенной системе линейных уравнений?

3. Может ли неопределенная система линейных уравнений быть несовместной?

4. Что называется общим решением системы линейных уравнений?

5. Может ли система, содержащая семь уравнений с пятью неизвестными, быть эквивалентной системе четырех уравнений с пятью неизвестными?

6. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместной?

7. Что называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений?

8. Сколько решений содержит фундаментальная система решений однородной системы уравнений с шестью неизвестными, имеющая ранг 4?

9. Какова структура общего решения системы линейных неоднородных уравнений?

10. К системе уравнений дописали произвольное уравнение. Как при этом изменится множество решений?

11. Из несовместной системы линейных уравнений удалили одно уравнение. Будет ли полученная система совместной?

12. Могут ли быть эквивалентными две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестным, но разным числом уравнений?

13. Может ли частное решение системы линейных уравнений иметь ровно одно решение? Ровно два?