Задача 1. Типово1 расчет по теории вероятностей

Типово1 расчет по теории вероятностей

Часть 1

Задача 1

1.1. По линии связи в случайном порядке передаются все буквы русского алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, которая начинается словом “радио”.

1.2. Из урны, содержащей 4 шара, четыре раза наудачу вынимается по одному шару с возвращением каждый раз обратно. Найти вероятность того, что в руке перебывают все шары.

1.3. Имеются пять отрезков длиной 1, 3, 4, 7 и 9 см. Определить вероятность того, что из трех наугад взятых отрезков (из этих пяти) можно построить треугольник.

1.4. В партии из 22 изделий половина бракованных. Наудачу выбираются 5 изделий. Найти вероятность того, что выбранные изделия доброкачественные.

1.5. Трем радиостанциям разрешена работа на пяти частотах. Определить вероятность того, что по крайней мере две радиостанции будут работать на одинаковых частотах, если выбор частот производится наугад.

1.6. Какова вероятность того, что в январе наугад выбранного года окажется 5 воскресений?

1.7. Колода карт произвольным образом делится на две стопы по 26 карт в каждой. С какой вероятностью в каждой стопе окажется два туза?

1.8. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры номера и набрал их наугад. Определить вероятность того, что набраны нужные цифры.

1.9. В партии из 24 изделий 14 бракованных. Наудачу извлекают 4 изделия. Найти вероятность того, что выбранные изделия доброкачественные.

1.10. По линии связи в случайном порядке передаются все буквы русского алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, которая начинается словом “столб”.

1.11. Из урны, содержащей 3 шара, три раза наудачу вынимается по одному шару с возвращением каждый раз обратно. Найти вероятность того, что в руке перебывают все шары.

1.12. Имеются пять отрезков длиной 2, 4, 5, 8 и 10см. Определить вероятность того, что из трех наугад взятых отрезков (из этих пяти) можно построить треугольник.

1.13. В партии из 32 изделий половина стандартных. Наудачу выбираются 6 изделий. Найти вероятность того, что выбранные изделия нестандартные.

1.14. Трем радиостанциям разрешена работа на четырех частотах. Определить вероятность того, что по крайней мере две радиостанции будут работать на одинаковых частотах, если выбор частот производится наугад.

1.15. Какова вероятность того, что в апреле наугад выбранного года окажется 5 воскресений?

1.16. Колода карт произвольным образом делится на две стопы по 18 карт в каждой. С какой вероятностью в каждой стопе окажется два туза?

1.17. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры номера и, помня, что среди них нет 1, набрал их наугад. Определить вероятность того, что набраны нужные цифры.

1.18. Колода карт произвольным образом делится на две стопы по 18 карт в каждой. С какой вероятностью в каждой стопе окажется два короля?

1.19. Какова вероятность того, что в апреле наугад выбранного года окажется 4 вторника?

1.20. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет делиться на три без остатка?

1.21. Какова вероятность того, что правильная дробь, составленная из случайно выбранных цифр будет меньше чем 0, 5?

1.22. Из натуральных чисел от 3 до 11 случайно выбираются два числа. Какова вероятность того, что сумма выбранных чисел окажется больше 10?

1.23. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет кратно семи?

1.24. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет делиться на девять без остатка?

1.25. Из натуральных чисел от 4 до 12 случайно выбираются два числа. Какова вероятность того, что модуль разности выбранных чисел окажется больше 6?

1.26. Какова вероятность того, что правильная дробь, составленная из случайно выбранных цифр будет меньше чем 0, 75?

1.27. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет делиться на пять без остатка?

1.28. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число окажется простым числом?

1.29. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет кратно тринадцати?

1.30.Какова вероятность того, что в январе наугад выбранного года окажется 4 понедельника?

Задача 2. Коэффициенты b и с квадратного уравнения наудачу выбираются из множества целых чисел . Какова вероятность того, что:

- полученное квадратное уравнение не имеет действительных корней? (для вариантов 1-15);

- полученное квадратное уравнение имеет действительные корни? (для вариантов 15-30).

Задача 4. Элементы и матрицы наудачу выбираются из множества целых чисел . Какова вероятность того, что определитель полученной матрицы будет:

- неотрицательным? (для вариантов 1-15);

- неположительным? (для вариантов 15-30).

Задача 6. Из колоды в 32 карты (для вариантов 1-15) или 36 карт (для вариантов 16-30) наудачу извлекают m карт. Какова вероятность того, что среди извлеченных карт окажутся:

а) туз? б) туз и королей? в) туз, королей и дам? г) хотя бы один туз?

Задача 7. В трех урнах находятся шары с номерами от 1 до 9. Трехзначное число составляется следующим образом: из первой урны наудачу извлекают шар, его номер – число единиц; номер шара наудачу извлеченного из второй урны – число десятков; номер шара наудачу извлеченного из третьей урны – число сотен. Какова вероятность того, что полученное число будет:

а) больше числа ? (для вариантов 1 – 15); б) меньше числа ? (для вариантов 16 – 30).

Задача 8. Варианты 1-15.

На отрезке наудачу появляется материальная точка. Определить вероятность того, что:

а) расстояние от точки до концов отрезка будет меньше чем ;

б) расстояние от точки до точки 0 будет больше чем ;

в) расстояние от точки до точки будет меньше чем ;

г) расстояние от точки до середины отрезка будет больше чем .

Задача 8. Варианты 16-30. На отрезке наудачу появляется материальная точка. Определить вероятность того, что:

а) расстояние от точки до концов отрезка будет больше чем ;

б) расстояние от точки до точки 0 будет меньше чем ;

в) расстояние от точки до точки будет больше чем ;

г) расстояние от точки до середины отрезка будет меньше чем .

Задача 21. Варианты 1-15. В первой урне белых и черных шаров; во второй урне белых и черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару. Какова вероятность того, что: а) оба извлеченные шары белые? б) оба извлеченные шары черные? в) один извлеченный шар белый, а другой черный?

Задача 21. Варианты 16-30. В первой урне белых и черных шаров; во второй урне белых и черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару. Какова вероятность того, что: а) оба извлеченные шары белые? б) оба извлеченные шары черные? в) один извлеченный шар белый, а другой черный?

Задача 23. Варианты 1-15. В первой урне белых, синих и красных шаров, во второй урне белых, синих и красных шаров, в третьей урне белых, синих и красных шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров: а) хотя бы один будет красный шар? б) будет только один красный шар? в) все извлеченные шары будут разного цвета?

Задача 23. Варианты 16-30. В первой урне белых, синих и красных шаров, во второй урне белых, синих и красных шаров, в третьей урне белых, синих и красных шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров: а) будет хотя бы один синий шар? б) будет только один синий шар? в) все извлеченные шары будут разного цвета?

Задача 24. В сборочный цех поступила партия из 1000 деталей, из которых изготовлены на первом станке, – на втором станке и – на третьем. Вероятность изготовления качественной детали для первого станка равна 0, 85, для второго – 0, 9, для третьего станка – 0, 95. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется:

а) качественной (для вариантов 1 – 15)? б) некачественной (для вариантов 16 – 30)?

Задача 25. Варианты 1-15. В первой партии деталей, 80% которых качественные, во второй – деталей, 10% которых бракованные, в третьей – деталей, 95% которых качественные. Из каждой партии извлекли наудачу по одной детали. Какова вероятность того, что среди извлеченных деталей будут а) все качественные?, б) одна качественная и две бракованные?, в) хотя бы одна качественная?

Задача 25. Варианты 16-30. В первой партии деталей, 80% которых качественные, во второй – деталей, 10% которых бракованные, в третьей – деталей, 95% которых качественные. Из каждой партии извлекли наудачу по одной детали. Какова вероятность того, что среди извлеченных деталей будут а) все бракованные?, б) одна бракованная две качественные?, в) хотя бы одна бракованная?

Задача 28. В первой урне белых и черных шаров, во второй – белых и черных шаров. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложили во вторую урну. После этого из второй урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется: белым (для вариантов 1 – 15)?; черным (для вариантов 16 – 30)?

Задача 29. В первой урне белых и черных шаров, во второй – белых и черных шаров. Из первой урны наудачу извлекли два шара и переложили во вторую урну. После этого из второй урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется: белым (для вариантов 1 – 15)?; черным (для вариантов 16 – 30)?

Задача 34. Изделия изготавливаются тремя бригадами сборщиков. Первая бригада изготавливает всех изделий, вторая – , третья –. Надежность изделия изготовленного первой бригадой , второй – , третьей – . Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие: не проработает гарантийное время (для вариантов 1 – 15)?; проработает гарантийное время (для вариантов 16 – 30)?

Задача 35. На складе имеются деталей. Из них изготовлены на первом станке, – на втором и – на третьем. Первый станок дает в среднем брака, второй – брака и третий брака. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется: доброкачественной (для вариантов 1 – 15)?; бракованной (для вариантов 16 – 30)?

Задача 38. В первой урне белых и черных шаров, во второй – белых и черных шаров. Из первой урны наудачу извлекли два шара и переложили во вторую урну. После этого из второй урны наудачу извлекли один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар извлеченный из второй урны, первоначально находился: во второй урне (для вариантов 1 – 15)?; в первой урне (для вариантов 16 – 30)?

Задача 46. Устройство состоит из трех блоков. Для сборки устройства наудачу из партии в деталей, среди которых 2% бракованных, берется первый блок, из партии в деталей, среди которых 3% бракованных, берется второй блок, из партии в деталей, среди которых 0, 5% бракованных, берется третий блок. В собранном изделии оказался бракованным один блок. Какова вероятность того, что: это блок из первой партии (для вариантов 1 – 15)?; из второй партии (для вариантов 16 –30)?

Задача 50. Для разрушения объекта требуется не менее попаданий. Сделано выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле . Какова вероятность: разрушения объекта (для вариантов 1 – 15)?; не разрушения объекта (для вариантов 16 –30)?

Задача 53. Вероятность изготовления доброкачественной детали на станке автомате равна 0, 95. изготовлена партия из 1000 деталей. Какова вероятность того, что среди изготовленных деталей:

а) бракованная деталь (для вариантов 1-15)? бракованных деталей (для вариантов 16 –30)?

б) число бракованных деталей составляет (для вариантов 1-15)? (для вариантов 16 –30)?

Задача 55. Всхожесть семян составляет 98%. Какова вероятность того, что из посаженных 10000 семян взойдут не менее чем 10000 – (для вариантов 1-15)? 10000 – (для вариантов 16-30)?

Задача 56. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна . Куплено билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.