Элементы симметрии бесконечных фигур, их сочетания.

Одним из свойств, присущих кристаллам, является симметрия. Симметрия - (от греческого «соразмерность») - закономерная повторяемость равных фигур или равных частей одной и той же фигуры в пространстве. Две фигуры называются равными, если расстояние между двумя любыми точками одной фигуры равно расстоянию между двумя соответственными точками другой. К элементам симметрии относятся центр симметрии, оси и плоскости симметрии. Центр симметрии – воображаемая точка внутри фигуры, в которой пересекаются и делятся пополам все прямые, соединяющие соответствен-ные точки на поверхности фигуры (рис. 1). В формуле симметрии обозначается символом С (табл. 1). В многограннике, обладающем центром симметрии, каждой грани отвечает другая грань, равная и параллельная первой. Плоскость симметрии – воображаемая плоскость, разделяющая фигуру на две зеркально-равные части (рис. 2). В формуле симметрии обозначается символом P (табл. 1). Плоскости симметрии проходят перпендикулярно граням и рёбрам через их середины или же идут вдоль рёбер, образуя равные углы с одинаковыми гранями и рёбрами. При подсчёте количества плоскостей симметрии в исследуемой фигуре нужно держать её в одном положении, для того чтобы одну и ту же плос-кость не сосчитать несколько раз. Ось симметрии – воображаемая прямая линия (ось), при вращении вокруг которой на 360 фигура совпадает сама с собой n раз. Количество совпадений n – отвечает порядку оси симметрии. Например, если при вращении на 360 вокруг оси фигура совпадает сама с собой через каждые 180, то есть дважды, то порядок оси симметрии – второй; если – через 120, то есть трижды, – третий и т.п. В формуле симметрии ось обозначается символом Ln (табл. 1). В кристаллических многогранниках и их структурах возможны оси симметрии второго, третьего, четвёртого и шестого порядка. Ось симметрии инверсионная – прямая линия (ось), при повороте вокруг которой на определённый угол и последующем её отражении в цен-тральной точке, фигура совпадает сама с собой. В формуле симметрии обозначается символом Lin. Существуют инверсионные оси симметрии четвёртого и шестого порядка.

Существует ряд теорем, позволяющих строго математически вывести все возможные совокупности элементов симметрии.

Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии есть ось симметрии, причём угол поворота вокруг этой оси в два раза больше угла между плоскостями.

Теорема 2. Точка пересечения чётной оси симметрии L2n с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии С.

Теорема 3. Если есть ось симметрии n-го порядка и перпендикулярная ей ось второго порядка, то всего таких осей должно быть n.

Теорема 4. Если есть ось симметрии n-го порядка и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется n.

Теорема 5. Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.

Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной оси симметрии, приводит к появлению оси второго порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.