Расчет показателей эффективности СМО с ограничением на длину очереди

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1.	Вероятности состояний
2.	Вероятность отказа
3.	Относительная пропускная способность (доля обслуженных заявок)	q = 1- Роткn.
4.	Абсолютная пропускная способность (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)
5.	Среднее число занятых каналов
6.	Коэффициент занятости каналов
7.	Средняя длина очереди
8.	Среднее время пребывания в очереди
9.	Среднее число требования, находящихся в системе
10.	Среднее время пребывания требования в системе

Пример 6.2.3. В мини-маркет заходит в среднем 6 покупателей в минуту, которых обслуживают два контролера-кассира с интенсивностью 2 покупателя в минуту. Длина очереди ограничена 4 покупателями. Определить характеристики СМО и дать оценку ее работы.

Решение. Рассматриваемая система является многоканальной системой массового обслуживания с ограниченной длиной очереди, для которой n=2, m=4, l = 6, m=2.

Определим:

Интенсивность нагрузки: ;

нагрузка на один канал: ;

вероятность того, что система свободна P₀:

;

вероятность того, что заявка, поступившая в систему, получит отказ:

;

Относительная пропускная способность системы:

Абсолютная пропускная способность системы:

Среднее число занятых каналов:

Коэффициент занятости каналов:

Среднее число покупателей, находящихся в очереди:

чел

Среднее время ожидания в очереди:

мин

Среднее число покупателей в магазине:

чел

Среднее время пребывания покупателей в магазине:

мин.

Вывод. Доля потерянных заявок составляет 34%, а обслуженных – 66%. Абсолютная пропускная способность равна 5, 94 заявки в час; каждый канал занят обслуживанием всего 94% времени. Средняя длина очереди составляет 4, 56 чел. Повышение эффективности работы системы можно осуществить путем увеличения касс и снижения среднего времени обслуживания.

Многоканальная СМО с ожиданием. Так как длина очереди не ограничена, то граф состояний в этом случае является бесконечным (рис. 6.2.4).

Рис. 6.2.4. Граф состояний многоканальной СМО без ограничений на длину очереди.

Установившийся режим работы системы существует при условии < 1, а в случае ³ 1 система не справляется с обслуживанием и очередь будет расти неограниченно. Отношение называется уровнем загрузки системы. Полагаем, что < 1.

Расчет показателей эффективности СМО без ограничений на длину очереди приведен в табл. 6.2.4.

Таблица 6.2.4

Расчет показателей эффективности СМО без ограничений на длину очереди

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1.	Вероятности состояний
2.	Вероятность отказа,	Ротк=0
3.	Относительная пропускная способность (доля обслуженных заявок)	q=I
4.	Абсолютная пропускная способность (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)	A=lq=l..
5.	Среднее число занятых каналов
6.	Коэффициент занятости каналов
7.	Средняя длина очереди
8.	Среднее время пребывания в очереди
9.	Среднее число требования, находящихся в системе
10.	Среднее время пребывания требования в системе

Пример 6.2.4. В кассе метрополитена, продающей жетоны на проезд, имеется два окна. Время, которое тратит кассир на обслуживание одного пассажира, в среднем равно 0, 5 мин. Пассажиры подходят к кассе в среднем по 3 чел/мин.

Определить:

1) вероятность того, что оба кассира свободны;

2) среднее число занятых кассиров;

3) среднее число пассажиров в очереди;

4) среднее число пассажиров у касс;

5) среднее время, которое пассажир проводит в очереди;

6) среднее время, которое пассажир тратит на приобретение жетона.

Решение.

Данная касса метрополитена моделируется двухканальной СМО (n=2) с ожиданием без ограничений на длину очереди и на время ожидания. Параметры системы: число каналов (окна кассы) n=2, интенсивность входящего потока l=3 чел./мин., среднее время обслуживания одной заявки мин и, следовательно, интенсивность потока обслуживания m= =2чел./мин. Интенсивность нагрузки r=l/m=1, 5. Нагрузка, приходящаяся на один канал y=r/n=1, 5/2=0, 75< 1, т.е. предельный режим функционирования существует, и мы можем определить основные характеристики эффективности СМО в данном режиме.

Вероятность того, что оба кассира свободны, равна вероятности того, что в системе нет ни одной заявки, и определяется по формуле:

;

среднее число занятых кассиров – среднее число занятых каналов (или среднее число пассажиров под обслуживанием) равно: ;

среднее число пассажиров в очереди определяем по формуле:

.

Среднее число пассажиров у касс – среднее число заявок в системе, находим как сумму среднего числа пассажиров в очереди и среднего числа пассажиров под обслуживанием:

Определим среднее время, которое пассажир проводит в очереди:

Среднее время, которое пассажир тратит на приобретение жетона – среднее время, которое заявка проводит в системе

Вывод. Среднее число пассажиров в очереди составляет 1, 91 чел, среднее время, которое пассажир проводит у касс – 1, 144 мин, среднее число занятых каналов составляет 1, 14. То есть можно говорить об эффективной работе системы.