Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод аналітичного вимірювання
|
|
Метод аналітичного вимірювання. Цей метод дозволяє виявити тенденцію та кількісно її виміряти. Розвиток явища розглядається в залежності лише від часу.
Метою аналітичного вирівнювання динамічного ряду є визначення аналітичної залежності 
.
Найчастіше при вирівнюванні використовують наступні залежності:
лінійна: 
;
параболічна: 
.
Лінійна залежність обирається, коли в вихідному ряді динаміки спостерігається більш-менш постійні абсолютні ланцюгові прирости. Параболічна залежність використовується, якщо спостерігається тенденція розвитку абсолютних ланцюгових приростів.
В усіх функціях t – порядковий номер періоду;
a0 – початковий рівень ряду;
a1 для лінійної функції – середньорічний абсолютний приріст;
a1 для параболічної функції – початковий абсолютний приріст.
Для нашого прикладу проведемо аналітичне вирівнювання за прямою: , де a0 , a1 – параметри знаходження прямої.
Вони знаходяться за методом найменших квадратів:
.
В рядах динаміки техніка розрахунку параметрів рівняння може бути спрощена. Для цього показники часу t обираються таким чином, щоб їхня сума 
, тобто за початок відліку треба визначити середину ряду динаміки.
Якщо п – непарна величина, то:
| n | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
| t | -2 | -1 |
.
Якщо п – парна величина, то:
| n | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | х6 |
| t | -5 | -3 | -1 |
(тобто рахунок часу ведеться півріччями).
При цьому рівняння системи матимуть наступний вигляд:
, звідси 
.
Таблиця 5.4.
Розрахунок параметрів тренду
| ісяць | Фактичний випуск про-дукції, тис. гр.. од. | Розрахунки параметрів | |||
| t | t2 | yt | f(t) згладжений | ||
| Січень | -11 | -1298 | 119, 8 | ||
| Лютий | -9 | -1116 | 121, 9 | ||
| Березень | -7 | -868 | 124, 1 | ||
| Квітень | -5 | -640 | 126, 3 | ||
| Травень | -3 | -381 | 128, 5 | ||
| Червень | -1 | -132 | 130, 7 | ||
| Липень | 132, 8 | ||||
| Серпень | 135, 0 | ||||
| Вересень | 137, 2 | ||||
| Жовтень | 139, 4 | ||||
| Листопад | 141, 6 | ||||
| Грудень | 143, 7 | ||||
| Разом |
а0 = 1581/12 = 131, 75 тис. гр. од. – середній рівень ряду динаміки;
а1 = 623/572 = 1, 089.
За результатами розрахунків рівняння тренду має наступний вигляд:
f(t) = 131, 75+1, 089t.
Лінійне рівняння тренду має вигляд y = at + b
1. Знаходимо параметри рівняння методом найменших квадратів.
Система рівнянь
Для наших даних система рівнянь має вигляд
З першого рівняння виражаємо а0 і підставимо в друге рівняння.
Отримуємо a0 = -0.04, a1 = 5.57
Рівняння тренду
y = -0.04 t + 5.57
Оцінимо якість рівняння тренда за допомогою помилки абсолютної апроксимації.
Оскільки помилка більше 15%, то дане рівняння не бажано використовувати як тренда.
Середні значення
Дисперсія
Середньоквадратичне відхилення
Коефіцієнт еластичності
k = a = -0.04
Коефіцієнт детермінації
тобто в 4.01 % випадків впливає на зміну даних. Іншими словами - точність підбору рівняння тренда - низька
| t | y | t 2 | y 2 | t•y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t))2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)): y |
| 5.52 | 1.02 | 2.32 | 6.09 | ||||||
| 5.48 | 8.95 | 6.35 | 20.17 | ||||||
| 5.1 | 26.01 | 15.3 | 5.44 | 0.01 | 0.11 | 1.72 | |||
| 4.9 | 24.01 | 19.6 | 5.39 | 0.01 | 0.24 | 2.42 | |||
| 6.3 | 39.69 | 31.5 | 5.35 | 1.67 | 0.9 | 5.98 | |||
| 7.5 | 56.25 | 5.31 | 6.21 | 4.81 | 16.44 | ||||
| 6.6 | 43.56 | 46.2 | 5.27 | 2.53 | 1.78 | 8.81 | |||
| 3.3 | 10.89 | 26.4 | 5.22 | 2.92 | 3.69 | 6.34 | |||
| 6.7 | 44.89 | 60.3 | 5.18 | 2.86 | 2.31 | 10.19 | |||
| 3.4 | 11.56 | 5.14 | 2.59 | 3.02 | 5.9 | ||||
| 3.3 | 10.89 | 36.3 | 5.09 | 2.92 | 3.22 | 5.92 | |||
| 3.9 | 15.21 | 46.8 | 5.05 | 1.23 | 1.32 | 4.49 | |||
| 4.1 | 16.81 | 53.3 | 5.01 | 0.82 | 0.82 | 3.72 | |||
| 5.9 | 34.81 | 82.6 | 4.97 | 0.8 | 0.87 | 5.52 | |||
| 6.4 | 40.96 | 4.92 | 1.94 | 2.18 | 9.46 | ||||
| 3.9 | 15.21 | 62.4 | 4.88 | 1.23 | 0.96 | 3.82 | |||
| 5.6 | 31.36 | 95.2 | 4.84 | 0.35 | 0.58 | 4.27 | |||
| 3.5 | 12.25 | 4.79 | 2.27 | 1.67 | 4.53 | ||||
| 4.75 | 4.03 | 3.07 | 5.25 | ||||||
| 5.4 | 29.16 | 4.71 | 0.15 | 0.48 | 3.74 | ||||
| 4.67 | 9.05 | 7.1 | 5.33 | ||||||
| 4.5 | 20.25 | 4.62 | 0.26 | 0.01 | 0.55 | ||||
| 4.8 | 23.04 | 110.4 | 4.58 | 0.04 | 0.05 | 1.06 | |||
| 5.9 | 34.81 | 141.6 | 4.54 | 0.8 | 1.86 | 8.04 | |||
| 7.2 | 51.84 | 4.49 | 4.8 | 7.32 | 19.48 | ||||
| 125.2 | 686.46 | 1571.9 | 125.2 | 59.46 | 57.07 | 169.24 |
2. Аналіз точності визначення оцінок параметрів рівняння тренду (відносна помилка апроксимації).
Аналіз точності визначення оцінок параметрів рівняння тренду.
S a = 0.0428
Довірчі інтервали для залежної змінної
По таблиці Стьюдента знаходимо Tтабл
Tтабл (n-m-1; a) = (23; 0.05) = 1.714
Розрахуємо межі інтервалу, в якому буде зосереджено 95% можливих значень Y при необмежено великому числі спостережень і t = 14
5.57 + -0.04*14 - 1.714*2.7; 5.57 + -0.04*14 - 1.714*2.7
(2.27; 7.66)
Інтервальний прогноз.
Визначимо середньоквадратичне помилку прогнозованого показника.
де L - період попередження; уn+L - точковий прогноз по моделі на (n + L)-й момент часу; n - кількість спостережень в тимчасовому ряді; Sy - стандартна помилка прогнозованого показника; Tтабл - табличне значення критерію Стьюдента для рівня значущості а і для числа ступенів свободи, рівного n — 2.
Точковий прогноз, t = 26: y(26) = -0.04*26 + 5.57 = 4.45
K1 = 2.91
4.45 - 2.91 = 1.54; 4.45 + 2.91 = 7.36
Інтервальний прогноз: t = 26: (1.54; 7.36)
3. Перевірка гіпотез щодо коефіцієнтів лінійного рівняння тренду.
1) t-статистика. Критерій Стьюдента.
Статистическая значимость коэффициента уравнения не підтверджується
Статистична значимість коефіцієнта тренда підтверджується
Довірчий інтервал для коефіцієнтів рівняння тренда
Визначимо довірчі інтервали коефіцієнтів тренда, які з надійність 95% будуть наступними:
(a - t a S a; a + t a S a)
(-0.1162; 0.0305)
(b - t b S b; b + t b S b)
(4.4752; 6.6548)
2) F-статистика. Критерій Фішера.
Fkp = 4.26
Оскільки F < Fkp, то коефіцієнт детермінації статистично не означає
4. Тест Дарбін-Уотсона на наявність автокореляції залишків для тимчасового ряду.
| y | y(x) | ei = y-y(x) | e2 | (ei - ei-1)2 |
| 5.52 | -1.52 | 2.32 | ||
| 5.48 | 2.52 | 6.35 | 16.34 | |
| 5.1 | 5.44 | -0.34 | 0.11 | 8.16 |
| 4.9 | 5.39 | -0.49 | 0.24 | 0.02 |
| 6.3 | 5.35 | 0.95 | 0.9 | 2.08 |
| 7.5 | 5.31 | 2.19 | 4.81 | 1.54 |
| 6.6 | 5.27 | 1.33 | 1.78 | 0.73 |
| 3.3 | 5.22 | -1.92 | 3.69 | 10.61 |
| 6.7 | 5.18 | 1.52 | 2.31 | 11.85 |
| 3.4 | 5.14 | -1.74 | 3.02 | 10.61 |
| 3.3 | 5.09 | -1.79 | 3.22 | |
| 3.9 | 5.05 | -1.15 | 1.32 | 0.41 |
| 4.1 | 5.01 | -0.91 | 0.82 | 0.06 |
| 5.9 | 4.97 | 0.93 | 0.87 | 3.4 |
| 6.4 | 4.92 | 1.48 | 2.18 | 0.29 |
| 3.9 | 4.88 | -0.98 | 0.96 | 6.04 |
| 5.6 | 4.84 | 0.76 | 0.58 | 3.04 |
| 3.5 | 4.79 | -1.29 | 1.67 | 4.23 |
| 4.75 | -1.75 | 3.07 | 0.21 | |
| 5.4 | 4.71 | 0.69 | 0.48 | 5.97 |
| 4.67 | -2.67 | 7.1 | 11.27 | |
| 4.5 | 4.62 | -0.12 | 0.01 | 6.47 |
| 4.8 | 4.58 | 0.22 | 0.05 | 0.12 |
| 5.9 | 4.54 | 1.36 | 1.86 | 1.31 |
| 7.2 | 4.49 | 2.71 | 7.32 | 1.8 |
| 57.07 | 106.58 |
Критичні значення d1 i d2 визначаються на основі спеціальних таблиць для необхідного рівня значущості a, числа спостережень n та кількості пояснюють змінних m.
Чи не звертаючись до таблиць, можна користуватися приблизними правилом і вважати, що автокореляцій залишків відсутня, якщо 1.5 < DW < 2.5. Для більш надійного виведення доцільно звертатися до табличних значень.
d1 < DW i d2 < DW < 4 - d2.