Расчет вероятностей случайных событий

Вариант 28

Выполнил: Студент группы ПО-41б
Чекулаева Татьяна

Проверил: Преподаватель кафедры ВМ

Зарубина Н.К.

Курск, 2015

Цель работы:

1. Изучить методы решения комбинаторных задач;

2. Изучить методы решения задач на классическое и геометрическое определения вероятности;

3. Отработать методику применения формул Бернулли, локальной и интегральной теорем Лапласа, формул Пуассона в повторных испытаниях;

4. Освоить методику применения прикладной программы MS Excel при решении задач по теории вероятностей.

1. ЗАДАНИЯ

При решении заданий использовать:

• m – порядковый номер студента в списке группы (m=28)

• N – номер группы (N=2).

1. Сколько n-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, …, n=mod(m+N, 5)+5, если каждая цифра входит в запись числа только один раз?

2. Сколько шифровок без повторений можно составить из k=mod(m, 3)+2 неповторяющихся символов, используя алфавит из n=mod(m+N, 7)+5 символов?

3. Сколькими способами можно выбрать k=mod(m, 4)+4 мячей из корзины, содержащей n=mod(m+N, 6)+8 мячей?

4. Выполнить задание.

5. Вероятность поражения мишени стрелком при каждом выстреле одинакова и равна p=0, 1·(mod(m+N, 4)+4). Стрелок производит n=mod(m+N, 10)+20 выстрелов. Найти:

1) вероятность того, что стрелок поразит мишень ровно k=mod(m+N, 5)+10 раз, используя:

а) формулу Бернулли;
б) локальную теорему Лапласа.

Сравнить полученные результаты.

2) вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее k₁=mod(m+N, 5)+10 раз и не более k₂=mod(m+N, 5)+12 раз, используя:

а) формулу Бернулли;
б) интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Сравнить полученные результаты.

6. Завод отправил на базу n=100·(mod(m+N, 3)+1) стандартных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна p=0, 01·(mod(m, 2)+1). Используя формулу Пуассона, найти вероятность того, что на базу прибудет ровно k=mod(m, 5)+1 нестандартных изделия.

7. На плоскую фигуру D наугад бросается точка М. Найти вероятность того, что точка М попадает в область d, лежащую в D.

2 ХОД РАБОТЫ

2.1 Использование программного продукта EXCEL

Использование программного продукта EXCEL на примере следующих параметров: порядковый номер студента в списке группы m=28, номер группы N=2.
1. Вычислила n, используя встроенную функцию ОСТАТ(число; делитель).

Поскольку порядок цифр важен и в числе используются все цифры, искомое число – число перестановок. Вычислила число перестановок, используя встроенную функцию ФАКТР(число).

2. Вычислила k и n, используя встроенную функцию ОСТАТ(число; делитель). Т.к. порядок символов в шифровке важен, искомое количество – это число размещений k символов из n. Вычислила число размещений, используя встроенную функцию ПЕРЕСТ(число; число выбранных).

Рис. 5. Решение задания 2

3. Вычислила k и n, используя встроенную функцию ОСТАТ(число; делитель). Поскольку порядок выбора мячей не важен, искомое число способов – это число сочетаний из n по k. Вычислил число сочетаний, используя встроенную функцию ЧИСЛКОМБ(число; число выбранных).

Рис. 6. Формульный шаблон задания 3 Рис. 7. Решение задания 3

Рис.8. Формульный шаблон задания 4

4. Вычислила n, используя встроенную функцию ОСТАТ(число; делитель). Поскольку в данной задаче порядок взятых карточек важен, количество благоприятных событий - число размещений, а количество всевозможных – число перестановок. Вычислила количества благоприятных и всевозможных исходов, используя встроенные функции ПЕРЕСТ(число; число выбранных) и ФАКТР(число) соответственно. Вычислила вероятность по формуле классической вероятности .

5(а). Вычислила p, n и k, используя встроенную функцию ОСТАТ(число; делитель). Вычислила точное значение вероятности по формуле Бернулли, используя встроенную функцию БИНОМРАСП(k; n; p; 0). Вычислила приближённое значение вероятности с помощью локальной теоремы Лапласа: , где , . При вычислении квадратного корня использовала встроенную функцию КОРЕНЬ(число). Для расчета значения функции воспользовалась встроенной функцией НОРМРАСП(х; 0; 1; 0). Вычислила относительную погрешность вычислений.

Рис. 10. Формульный шаблон задания 5(а)

Рис. 11. Решение задания 5(а)
Относительная погрешность вычислений составляет всего 2, 4 %, следовательно, локальная теорема Лапласа даёт хорошее приближение.

5(б). Вычислила p, n, k₁ и k₂, используя встроенную функцию ОСТАТ(число; делитель). Вычислила точное значение вероятности по формуле Бернулли, используя встроенную функцию БИНОМРАСП(k; n; p; 0). Вычислила приближённое значение вероятности с помощью интегральной теоремы Лапласа: , где , .

При вычислении квадратного корня использовала встроенную функцию КОРЕНЬ(число). Для расчета значения функции воспользовалась встроенной функцией НОРМРАСП(х; 0; 1; 1). Вычислила относительную погрешность вычислений.

Рис. 12. Формульный шаблон задания 5(б)

Рис. 13. Решение задания 5(б)

Относительная погрешность вычислений составляет 68%, следовательно, в данном случае интегральная теорема Лапласа приводит к неудовлетворительному результату. Это можно объяснить тем, что значение .

6. Вычислил p, n и k, используя встроенную функцию ОСТАТ(число; делитель). Вычислил приближенное значение вероятности с помощью формулы Пуассона: , где . Для вычисления вероятности использовал встроенную функцию ПУАССОН(k; λ; 0).
7. Для расчета воспользовалась формулой геометрической вероятности
, где mes – это мера области. Для двумерного случая мера – это площадь, поэтому формула приобретает вид . Изобразила область на графике. Область d – это криволинейная трапеция, ограниченная линиями
и . Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, достаточно вычислить , или
. Вычислила определённый интеграл, используя приближенный метод вычисления - метод трапеций:

. Вычислила площадь области D, которая является прямоугольником. Вычислила вероятность.

Рис. 16. Формульный шаблон задания 7. Рис. 17. Решение задания 7       Рис. 18. Изображение области d на графике

Вывод: Изучила методы решения комбинаторных задач и задач на классическое и геометрическое определения вероятности; отработала методику применения формул Бернулли, локальной и интегральной теорем Лапласа, формул Пуассона в повторных испытаниях; освоила методику применения прикладной программы MS Excel при решении задач по теории вероятностей.