Кинематика точки

Наиболее распространены два способа задания движения точки, причем под точкой часто понимают так называемую материальную точку, т.е. тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Последнее справедливо при поступательном (параллельно самому себе) движении тела по прямой и при движении по кривой, когда радиус кривизны траектории много больше размеров тела.

Итак координатный способ предполагает задание координат точки, например точки А, как функций времени.

(1)

Уравнения движения (1) позволяют построить траекторию, например, по точкам изменяя время с заданным шагом. Они также дают возможность определить скорость и ускорение точки в любой момент времени, как по величине, так и по направлению.

Проекции данных векторов на оси определяются дифференцированием (1) и последующей подстановкой времени, а модули их как корень квадратный из суммы квадратов проекций. При этом, если проекция получается отрицательной, это означает, что соответствующая составляющая вектора направлена против оси (направление осей должно быть задано предварительно, вместе с уравнениями (1)). Рассмотрим пример определения , при t=1 c, когда (1) имеет вид

,

где при t=1 c, X_A=9 м, Y_A=1 м.

Тогда из уравнений движения следует (рис. 1)

(2)

(3)

Рис. 1

При втором способе задания движения точки, называемом естественным, задают траекторию и начало отсчета пути точки по ней, а так же путь S по траектории в виде функции времени. В этом случае скорость и касательное ускорение всегда касательные к траектории в рассматриваемой точке, а по величине определяются дифференцированием S=f(t), т.е. . Знак «-», полученный после дифференцирования подставки заданного значения времени t, показывает, что данный вектор или направлены в сторону убывания пути или криволинейной координаты S. Полное ускорение точки складывается из касательного и нормального ускорения , которое направлено по нормали (перпендикулярно касательной) в сторону центра кривизны траектории. По величине последнее ускорение зависит от радиуса кривизны траектории в данной точке r, т.е.

(4)

Физический смысл этих двух составляющих полного ускорения в том, что – характеризует интенсивность изменения вектора по величине, а ускорение – по направлению. Рассмотрим пример, когда S=-5t²+14t (м) и необходимо определить и при t=1 c, когда траектория точки представляет собой дугу радиусом R=18 м (рис. 2).

S=-5∙ 1²+14∙ 1 = 9 м, рад» 30°

Если при координатном способе задания движения точки необходимо найти , то используется следующие формулы: