Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности

Пусть имеется симметричная в геометрическом смысле рама (рис. 7.6), т.е. левая часть является зеркальным отображением правой части относительно оси симметрии. При расчете таких систем решение канонических уравнений можно упростить.

Рис. 7.6

Рассмотрим два случая загружения рамы: симметричной (рис. 7.6, б) и кососимметричной (рис. 7.6, в) нагрузкой. Аналогично будем классифицировать и внутренние силовые факторы. Рассекая стержень в общем случае нагружения, будем иметь шесть составляющих внутренних усилий.

Докажем следующее положение: у симметричной рамы при симметричной нагрузке обращаются в нуль, кососимметричные неизвестные, а при кососимметричной нагрузке — симметричные неизвестны.

Рис. 7.7

Рассмотрим раму, изображенную на рис. 7.6. Основная система при использовании свойств симметрии должна быть обязательно симметричной. Она будет общей как при симметричном, так и кососимметричном загружении. На рисунке 7.8 показаны основная и эквивалентные системы.

Рис. 7.8

Обозначая через и — кососимметричные силовые факторы, и через и симметричные, выпишем систему канонических уравнений. В данном случае их будет шесть:

Заменим теперь, что в этих уравнениях многие из коэффициентов обращаются в нуль. Это будут все коэффициенты, у которых один индекс принадлежит симметричному, а другой — кососимметричному фактору. Например, обращается в нуль коэффициент . Индекс 1 принадлежит кососимметричному фактору, а индекс 3 — симметричному фактору. Обращаются также в нуль и т.д. Сказанное становится более очевидным, если учесть, что в рассматриваемой системе эпюра изгибающих моментов от кососимметричных факторов будет кососимметричной, а от симметричных факторов — симметричной. При перемножении таких эпюр, естественно получим нуль, в то время как перемножение кососимметричной эпюры на кососимметричную и симметричной на симметричную дает результат, отличный от нуля.

Вычеркивая из системы уравнений коэффициенты, обращающиеся в нуль, получим:

Как видим, система уравнений распалась на две независимые.

Теперь положим, что внешняя нагрузка является симметричной. Из сказанных выше соображений следует, что . Первая система уравнений становится однородной. Тогда . Следовательно, при симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы обращаются в нуль.

При кососимметричной нагрузке . Тогда . В этом случае в плоскости симметрии обращаются в нуль симметричные силовые факторы.

Таким образом, при симметричной нагрузке кососимметричные неизвестные равны нулю, а при кососимметричной нагрузке —симметричные раны нулю. Если внешняя нагрузка не обладает свойствами симметрии, то ее всегда можно разложить на симметричную и кососимметричную, как показано на рис. 7.9.

Рис. 7.9

При этом задача распадается на две, которые решаются отдельно. Окончательные эпюры получаются сложением эпюр от симметричной и кососимметричной нагрузки.