Эквиваленция или равнозначность

Эквивалвниией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое символом А Ù В (или º, ~, Û), которое истинно тогда и только тогда, когда значения истинности высказываний А и В совпадают. (см. таблицу).

Логическая операция, называемая эквивалентностью, соответствует союзу " тогда и только тогда, когда" и читается " А эквивалентно В", " Для того, чтобы А необходимо и достаточно, чтобы В".

Когдамы говорим " А только тогда, когда В" то имеем в виду, что оба предложения А и В одновременно истинны, либо одновременно ложны. Например, говоря: " Я поеду в Ленинград тогда и только тогда, когда ты поедешь в Киев", мы утверждаем, что-либо произойдет и то и другое, либо ни того, ни другого. Можно доказать используя таблицу истинности, что для любых высказываний А и В высказывание (А Û В) = 1 тогда и только тогда, когда (А Þ В) = 1 и (В Þ А) = 1.

Это утверждение используется при доказательстве теорем вида А Û В. Одним из способов доказательства истинности высказывания А Û В является доказательство истинности высказывания А Þ В (необходимость) и истинности высказывания В Þ А (достаточность).

Высказывания А и В называются равносильными., если (А Û В) = 1 говорят, что формулы F₁ и F₂ равносильны, если их эквиваленция F1 Û F2 - тавтология (тождественно истинное высказывание).

Рис. 2.10 Диаграмма Венна (эквиваленция)

Запись F₁ º F₂ читается: " формула F₁ равносильна формуле F₂"

А Û В º (А Þ В) Ù (В Þ А)

Равносильность есть отношение между формулами (также как равенст­во отношение между числами, параллельность - отношение между прямыми). Отношение равносильности обладает следующими свойствами:

а) рефлективности F º F

б) симметричности: если F₁ º F₂ то F₂ º F₁

в) транзитивности: если F₁ º F₂ и F₂ º F₃, то F₁ º F₃

Таким образом, в математической логике для записи более сложных высказываний используются следующие логические операции над простыми высказываниями:

Ø НЕ

& И

Ú ИЛИ

Þ влечет

Û совпадает.

Логическое выражение служит для задания вычислительного процесса нахождения логического значения, подобно тому, как в математике арифметическое выражение служит для задания правил вычисления некоторого числового значения. Напомним, что логическое выражение может иметь только одно из двух возможных значений true (1) или false (0).

Все рассмотренные логические операции иллюстрируются в сводной таблице ##, где булевские числа true и false заменены 1 и 0 соответственно.

Порядок старшинства логических операций следующий: Ø, &, Ù, Þ, Û.

Для изменения порядка выполнения логических операций используются круглые скобки. В первую очередь выполняются операции в скобках, затем все остальные логические операции в порядке старшинства слева направо.

Вопросы для самопроверки.

1. В данных составных предложениях выделите составляющие их элементарные предложения и логические связки:

а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам;

б) треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы конгруэнтны.

2. Определите значение истинности высказываний A, B, C, D, если:

а) А Ù (2 * 2) = 4 – истинное высказывание;

б) В Ù (2 * 2) = 4 – ложно;

в) С Ú (2 * 2) = 5 – истинно;

г) В Ú (2 * 2) = 5 – ложно;

3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, коор­динаты которых обращают следующие высказывательные формы в истинные высказывания:

а) (х > 0) Ù (у > 0), б) (х > 0) Ù (у < 0), в) (х < 0) Ù (у < 0)

г) (х = 0) Ú (у = 0), д) (х = 0) Ù (у = 0), е) (х > 0) Ú (у > 0)

ж) (х > 0) Ú (у = 0), з) (х > 0) Ú (у < 0).

4. Сформулируйте и запишите в вида конъюнкции или дизъюнкции условие истинности каждого предложения:

а) ab ¹ 0, б) ab = 0, в) а² + b² = 0, г) а / b = 0, д) | а | > 2, е) | а | < 2

5. Следующие предложения запишите без знака отрицания:

6. Определите значения истинности следующих высказываний:

а) если 12 делится на 6, то 12 делится на 3;

б) если 11 делитсяна 6, то 11 делится на 3;

в) если 15 делится на 6, то 15 делится на 3;

г) если 15 делится на 3. то 15 делится на 6;

д) если Париж расположен на Темзе, то белые медведи живут в Африке;

е) 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3;

ж) 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3;

з) 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3.

7. Пусть через А обозначено высказывание " 9 делится на З", а через В - высказывание " 10 делится на З". Определите значения истин­ности следующих высказываний:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

8. Определите значение истинности высказываний A, B, C, D в предложениях, а, б, д, е из которых истинны, а в, г, ж, з – ложны:

а) Если 4 нечетное число, то А;

б) Если В, то 4 нечетное число;

в) Если 4 четное число, то С;

г) Если D, то 4 нечетное число;

д) А Û (2 < 3);

е) В Û (2 > 3);

ж) С Û (2 < 3);

з) D Û (2 > 3).

9. Придумайте по два примера: а) истинной импликации с истинным антецедентом; б) истинной импликации с ложным консеквентом; в) ложной импликации; г) истинной эквивалентности; д) ложной эквива­лентности.

10. Сформулируйте в виде импликации: " Диагонали ромба взаимно перпендикулярны", " Во всяком треугольнике сумма внутренних углов равна 180°".

11. Найдется ли такой день недели, когда: а) утверждение " Если сегодня понедельник, то завтра пятница" истинно; б) " Если сегодня понедельник, то завтра вторник" ложно.

12. Известно, что если число делится на 6, оно делится на 3 и 2. Сформулируйте это в виде импликации.