Линейный коэффициент корреляции.

Применяется для оценки степени тесноты связи лишь в случае наличия линейной зависимости между признаками. Он характеризует не только тесноту, но и направление связи. Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле:

.

Может быть представлен в более удобном виде:

.

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе по абсолютной величине его значение к 1, тем теснее связь между признаками. (Для экономических исследований необходимо, чтобы .) Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи – прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной зависимости – знак минус.

Сама по себе величина линейного коэффициента корреляции не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях признаков.

Оценка степени тесноты связи с помощью линейного коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. Поэтому возникает вопрос о том, насколько правомерно наше заключение о действительном наличии корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой была произведена выборка. В этой связи необходима оценка существенности показателя тесноты связи, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность.

В зависимости от объёма выборочной совокупности предлагаются различные методы оценки существенности линейного коэффициента корреляции. При большом объёме выборки (свыше 500), отобранной из исходной нормально распределённой совокупности, средняя квадратическая ошибка линейного коэффициента корреляции равна:

,

где – r – линейный коэффициент корреляции, полученный по данным выборки;

n – объём выборки.

Если отношение окажется больше значения t -критерия Стьюдента при числе степеней свободы k=n-2 и с вероятностью (1-α), то следует говорить о существенности коэффициента корреляции (α – уровень значимости 0, 01 или 0, 05).

Для малого объёма выборочной совокупности

.

Полученную величину t_расч сравнивают с табличным значением t -критерия Стьюдента при числе степеней свободы k=n-2 и с вероятностью (1-α). Если рассчитанная величина превосходит табличное значение, то следует говорить о существенности коэффициента корреляции.

2. При наличии криволинейной зависимости между признаками в качестве показателя тесноты связи рекомендуется использовать эмпирическое корреляционное отношение:

.

Для расчёта эмпирического корреляционного отношения следует воспользоваться следующими показателями:

Общая дисперсия, измеряющая общую вариацию за счёт действия всех факторов

.

Факторная (теоретическая) дисперсия, измеряющая вариацию результативного признака у за счет действия факторного признака

.

Остаточная дисперсия, характеризующая вариацию признака у за счёт всех факторов, кроме х (т.е. при исключенном х).

.

Тогда по правилу сложения дисперсий: .

Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь между признаками. (Для экономических исследований необходимо, чтобы .)

Проверка существенности эмпирического корреляционного отношения осуществляется при помощи критерия Фишера:

,

где k₁=m-1, k₂=n-m;

n ‑ число единиц совокупности;

m ‑ число параметров уравнения регрессии.

Значение ‑ критерия можно рассчитать также по формуле

,

где ‑ коэффициент детерминации.

Полученные значения F_факт сравниваются с критическими значениями (табличными) F_кр: если F_факт > F_кр , то существенность связи подтверждается.

3. Коэффициент детерминации – корреляционное отношение в квадрате. Он представляет собой удельный вес факторной дисперсии в общей, т.е. отражает ту долю, которую составляет вариация результативного признака под действием фактора x в общей вариации результативного признака:

.

В практике для определения степени тесноты связи могут быть использованы и другие показатели.

Параметр b при х имеет большое практическое значение и носит название коэффициента регрессии.

Коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изменяется величина у при изменении факторного признака х на 1. При наличии прямой корреляционной связи коэффициент регрессии имеет положительное значение, при обратной ^‑ отрицательное. Коэффициент регрессии применяют для определения коэффициента эластичности.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится величина результативного признака у при изменении факторного признака х на 1%:

На основании уравнения регрессии могут быть вычислены теоретические значения у_х для любых значений х.

Рассеяние точек корреляционного поля может быть очень велико и вычисленное уравнение регрессии может давать большую погрешность в оценке анализируемого показателя. Для всей совокупности наблюдаемых значений рассчитывается средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии S_е, которая представляет собой среднее квадратическое отклонение фактических значений у относительно теоретических значений, рассчитанных по уравнению регрессии у_х.

где m - число параметров уравнения регрессии (для уравнения прямой m =2).

Оценить величину средней квадратической ошибки можно сопоставив её

а) со средним значение результативного признака у;

б) со средним квадратическим отклонением признака у: если S_е < s_у, то использование данного уравнения регрессии является целесообразным.

Отдельно оцениваются средние квадратические ошибки параметров уравнения:

,

где S_a, S_b ‑ средние квадратические ошибки коэффициентов регрессии a и b;

s_х ‑ среднее квадратическое отклонение х.

То, что линия у_х не совпадает с линией у, говорит о том, что связь между у и х не полная, не функциональная.

Следовательно, чтобы измерить тесноту связи, т.е. измерить, насколько она близка к функциональной, нужно определить дисперсию, измеряющую отклонения у от у_х и характеризующую остаточную вариацию, обусловленную прочими факторами.