Сравнение компонент тензора Риччи

К ВОПРОСУ О ГРАВИТАЦИОННОМ КОЛЛАПСЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА

В.Д. ВЕРТОГРАДОВ

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена.

E-mail: vitalii.vertogradov@yandex.ru

Аннотация

В данной статье рассматривается вопрос о невозможности сшивания швардшильдовской и фридмановской метрик в случае гравитационного коллапса сферически-симметричного тела.

Введение

При изучении геодезических с отрицательной энергией в метрике Керра [1] было показано, что такие геодезические являются- белодырным решением[2] и, что такие геодезические появляются из-под гравитационного радиуса, тем самым, нарушая принцип космологической цензуры. Тем не менее, метрика Керра описывает вечные вращающиеся черные дыры. В реальном случае, вращающиеся черные дыры возникают в результате коллапса вращающихся звезд и, если мы продолжим геодезическую для частицы с отрицательной энергией в прошлое, то мы увидим, что она будет появляться из коллапсирующей звезды. Однако, поверхность коллапсирующей звезды не может считаться началом такой геодезической, поскольку не является ни бесконечностью, ни сингулярностью, чего требует геодезическая полнота. Поэтому, геодезическую необходимо продолжить во внутрь коллапсирующей звезды. Чтобы понять откуда геодезическая берет свое начало, нам необходимо знать внутреннее решение коллапсирующей звезды.

Случай вращающегося коллапсирующего тела до сих пор не изучен. Случай коллапса сферически-симметричного тела более простой и был изучен Бекедорфом и Мизнером[3-4]. Они показывают, что внешнее решение описывается метрикой Швардшильда[5], а внутреннее метрикой Фридмана[6] с положительной кривизной и показывают, что эти две метрики гладко сшиваются и их границей является поверхность коллапсирующего тела. Тем не менее, удалось показать, что это не так. Поскольку метрики гладко переходят друг в друга, то у них должны быть равны компоненты тензора Риччи, но оказывается, не все они равны. Более того, удалось показать, что в метрике Фридмана на горизонте событий возникает сингулярность, поскольку некоторые компоненты тензора кривизны обращаются в бесконечность.

Сравнение компонент тензора Риччи

Все формулы записаны в системе, в которой гравитационная постоянная и скорость света полагаются равными единице .

Метрика Швардшильда имеет вид:

Метрика Фридмана, приведенная к нужному виду [3], имеет вид:

Здесь - масштабный фактор, который задается параметрически следующим образом:

Переход от метрики Фридмана к метрике Швардшильда осуществляется если:

Тензор Риччи в общем случае имеет вид:

где по немым индексам подразумевается суммирование от 0 до 3, < <, > > в нижнем индексе означает дифференцирование по соответствующей координате, - скобки Кристоффеля, которые задаются формулой:

где - метрический тензор.

Выпишем не равные нулю компоненты метрического тензора в метрике Швардшильда:

Теперь выпишем не равные нулю компоненты метрического тензора в метрике Фридмана:

Теперь выпишем не равные нулю скобки Кристоффеля и компоненты тензора Риччи в метрике Швардшильда:

Теперь выпишем не равные нулю скобки Кристоффеля и компоненты тензора Риччи:

Сравним теперь некоторые компоненты. Для начала сравним компоненты в обеих метриках: в Швардшильде , а во Фридмане и если мы сделаем преобразование (1), то получим .

Но более наглядное сравнение получается при . В Швардшильде при подстановке вместо горизонта событий (), мы получаем:

Но во Фридмане, при преобразовании (1), мы получаем:

и при подстановке , очевидно получаем:

т. е. на горизонте событий в приведенной метрике Фридмана возникает сингулярность. Следовательно, сшивать эти метрики нельзя, поскольку есть существенная разница в кривизне на границе сшивания.

Заключение

Удалось показать, что нельзя гладко сшить метрику Фридмана с метрикой Швардшильда, следовательно, вопрос о коллапсе даже сферически-симметричного тела остается по- прежнему открыт.

Благодарности: Автор выражает глубокую благодарность профессору А.А. Грибу, доктору Ю.В. Павлову и к. ф.-м. н. С.В. Красникову за научные дискуссии и Фонду < < Династия> > за финансовую поддержку.

Литература

1 Вертоградов В.Д. Геодезические для частиц с отрицательной энергией в метрике Керра. //Физический вестник. Выпуск 8. Сборник научных статей. –СПб., 2014.

2. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени -М.: Мир, 1973. - 432 с.

3. Вейнберг С. Гравитация и космология -М.: Мир, 1975. - 695 с.

4 Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. Т. 3 -М.: Мир, 1977. - 512 с.

5. Владимиров Ю.С. Классическая теория гравитации: Учебное пособие -М.: Книжный дом < < ЛИБРОКОМ> >, 2009. - 264 с.

6. Горбунов Д.С., Рубаков В.А Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего Большого взрыва -М.: Издательство ЛКИ, 2006. - 464 с.