Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Оценивание, проверка статистических гипотез. Методические указания.
|
|
I. Из генеральной совокупности X сделана выборка объема n = 200. Требуется на основании этой выборки сделать аргументированное заключение о законе распределения генеральной совокупности и её основных числовых характеристиках. Для этого необходимо:
а) найти статистический ряд с числом интервалов, равным, например, 12;
б) построить гистограмму;
в) найти статистическую функцию распределения и построить ее график;
г) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
д) найти доверительный интервал для математического ожидания с заданной надёжностью (доверительной вероятностью);
е) на основании критерия согласия 
(Пирсона) проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.
II. По данным таблицы - группированной выборки двумерного вектора (X, Y), требуется найти выборочное уравнение прямой – линии линейной регрессии Y на X.
Каждому студенту преподаватель выдает для обработки выборку объема
n = 200 из таблицы нормально распределенных случайных чисел и группированную выборку двумерного вектора в виде таблицы.
Рассмотрим каждый этап выполнения работы.
1. Составление статистического ряда, гистограммы и нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии.
В заданной выборке находим наименьший а и наибольший b элементы. Частное 
округляем до десятых, и полученное число берем в качестве шага разбиения h. Вводим отрезок 
, длина которого 12 h, причем числа 
и 
подобраны так, чтобы 
; 
и, кроме того, чтобы 
и 
имели не более двух знаков после запятой для простоты дальнейших вычислений.
Отрезок 
разбиваем точкам 
, x 1, x 2, …, x 12 = , на 12 равных частичных интервалов 
затем определяем частоты ni, то есть число элементов выборки, попавших в каждый из частичных интервалов Δ i и относительные частоты 
, i= 1, …, 12.
Примечание. Если некоторые элементы выборки не попали на отрезок 
, то их условимся относить к ближайшему крайнему интервалу. Числа, совпадающие с границами частичных интервалов, условимся относить к левому интервалу. В качестве членов статистического ряда 
берем числа, являющиеся серединами частичных интервалов: 
Результаты оформляются в виде таблицы (табл. 1).
Таблица 1
Номера интервалов 
| … | Примечания | ||||
| Границы Интервалов |
|
|
| … |
| |
|
|
|
| … |
| |
|
|
|
| … |
| 
|
|
|
|
| … |
| 
|
Пример. Пусть нам дана следующая выборка
| -0, 669 0, 392 -0, 337 0, 369 -1.694 | 0, 035 0, 106 0, 199 -1, 990 0, 710 | -2, 077 1, 430 -0, 160 -1, 190 -0, 655 | 1, 077 -0, 204 0, 625 0, 666 -0, 546 | 0, 525 -0, 326 -0, 891 -1, 614 1, 654 | -0, 154 0, 825 -1, 464 0, 082 0, 134 | -0, 537 1, 214 1, 353 -0, 184 -0, 529 | -1, 036 0, 091 0, 466 -1, 324 -0, 915 | 0, 882 -0, 032 1, 000 0, 741 -0, 898 | -0, 402 -1, 264 1, 511 -0, 264 0, 799 |
| 0, 985 -1, 063 0, 033 0, 597 -1.601 | 0, 340 -0, 594 -1, 527 0, 362 -0, 570 | 0, 276 -1, 526 1, 422 -3, 760 0, 133 | 0, 911 -0, 787 0, 308 1, 159 -0, 660 | -0, 170 0, 873 0, 845 0, 874 1, 485 | -0, 551 -0, 405 -0, 151 -0, 794 0, 682 | -0, 036 1, 469 1, 642 -0, 358 0, 104 | 0, 679 -0, 318 0, 033 0, 162 1, 215 | -0, 432 0, 922 -0, 838 0, 064 0, 686 | 0, 678 0, 522 -0, 872 1, 594 0, 676 |
| -0266 0, 901 -1, 433 1, 327 -0, 248 | -1, 309 1, 531 -1, 008 0, 703 0, 788 | 0, 597 -0, 889 -0, 990 -1, 724 0, 577 | 0, 989 -1, 019 0, 090 -0, 709 0, 122 | 0, 934 0, 084 0, 940 -1, 100 -0, 536 | 1, 079 1, 531 0, 207 -1, 346 0, 293 | -0, 999 0, 638 -2, 243 0, 183 -0, 126 | 0, 015 1, 297 -0, 039 -0, 163 1, 627 | -0, 094 -0, 139 0, 276 1, 212 0, 658 | -1, 920 -0, 157 -0, 551 -0, 452 1, 348 |
| -0, 401 0, 344 0, 441 0, 824 1, 385 | -0, 679 0, 324 -0, 372 0, 040 1, 320 | 0, 921 0, 686 -1, 336 -1, 734 -0, 509 | 0, 476 -1, 487 0, 062 0, 261 -0, 381 | 1, 121 -0, 136 1, 506 0, 054 -1, 671 | -0, 864 0, 803 -0, 315 -0, 379 -0, 524 | -0, 656 -0, 745 1, 207 -0, 961 1, 298 | -0, 220 0, 932 0, 838 -2, 716 -1, 248 | -1, 566 -0, 833 -0, 304 0, 823 0, 346 | -0, 144 -0, 946 0, 128 -0, 112 -0, 805 |
 |
Составляем статистический ряд с 12 интервалами. Наименьший элемент выборки a = -3, 760, наибольший b = 1, 654. Частное = 
= 0, 451. Округляя, получаем h= 0, 5.
12 h= 12 . 0, 5 = 6. Поэтому удобно взять 
Составляем табл.2.
Построим гистограмму (рис. 1). Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников, основания которых - частичные интервалыΔ i = 
; расположенные на оси абсцисс, высоты пропорциональны, а площади равны соответствующим частотам (см. пособие с. 122-126). В нашем примере все эти данные берем из таблицы 2.
Гистограмма Рис. 1
 |
Далее строим эмпирическую функцию распределения (см. пособие с. 86-89). Она имеет вид 
где 
- число элементов выборки, меньших х; здесь х - любое вещественное число. График эмпирической функции распределения представ-ляет собой ступенчатую линию, определенную на всей числовой оси (рис.2). Значения этой функции заключены в промежутке [0, 1]. Из таблицы 2 находим
Отсюда график эмпирической функции распределения имеет вид
|
 |
График эмпирической функции распределения
рис.2
Замечание. Для наглядности, при построении гистограммы и эмпирической функции распределения масштаб по оси абсцисс и оси ординат может быть выбран различным.
Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии. В качест-ве таких оценок выбирают среднее выборочное значение 
и выбо-рочную дисперсию 
, где 
(см. пособие с.96-99).
Результаты заносим в таблицу вида 3.
Таблица 3
Номер интервала
| ... | Некоторые результаты | ||||
| 
| 
| 
| ... | 
| |
| 
| 
| 
| ... | 
| |
| 
| 
| 
| ... | 
| 
|
| 
| 
| 
| ... | 
| 
|
Таблица 3 строится по данным табл.2, затем вычисляются 
и S 2. В нашем примере результаты приведены в табл.4, после ее создания найдены и S 2.
2. Построение доверительного интервала.
Интервал 
называется доверительным интервалом для неизвестного параметра θ, если, с заданной доверительной вероятностью g (надежностью) можно утверждать, что неизвестный параметр находится внутри этого интервала (накрывается интервалом). В данной работе будем искать доверительный интервал для математического ожидания m с заданной доверительной вероят-ностью g = 0, 95 (см. пособие с. 108-109).
Ввиду большого объема выборки доверительный интервал имеет вид 
. Параметр t определяется из равенства
,
где 
, 
.
Замечание. Для определения t при использовании функции Лапласа
будем иметь следующее уравнение 
.
Таблица 4
| Номер интер-вала | Неко-торые результаты | ||||||||||||
| -3, 75 | -3, 25 | -2, 75 | -2, 25 | -1, 75 | -1, 25 | -0, 75 | -0, 25 | 0, 25 | 0, 75 | 1, 25 | 1, 75 | |
| 0, 005 | 0, 005 | 0, 01 | 0, 055 | 0, 08 | 0, 17 | 0, 17 | 0, 185 | 0, 19 | 0, 09 | 0, 040 | ||
| -0, 019 | -0, 014 | -0, 023 | -0, 096 | -0, 1 | -0, 128 | -0, 043 | 0, 046 | 0, 143 | 0, 113 | 0, 07 | =
- 0, 052
| |
| 0, 070 | 0, 038 | 0, 051 | 0, 168 | 1/8 | 0, 096 | 0, 011 | 0, 012 | 0, 107 | 0, 141 | 0, 123 |  =
0, 942
|
= 0, 052; S 2 = 
= 0, 942 - 0, 003 = 0, 939
Округляя полученные результаты, принимаем = 0, 05; S 2 = 0, 94.
Для рассматриваемого примера будем иметь при g = 0, 95, 
0, 975,
откуда t =1, 95, поэтому в нашем примере имеем
, 
Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания имеет вид 
.
3. Проверка статистических гипотез.
Проверим гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой произ-ведена выборка, имеет нормальный закон распределения (такое предположение может быть сделано по виду гистограммы). Применим критерий согласия (Пирсона). Так как математическое ожидание m и дисперсия 
генеральной совокупности нам неизвестны, то вместо них возьмем ихвыборочные характеристики: выборочное среднее и выборочную дисперсию S 2.
Проверка гипотезы сводится к следующему алгоритму.
Объединим в один интервал интервалы с малыми частотами так, чтобы в каждом из интервалов было не менее 6-8 элементов выборки. Обозначим полученное число интервалов буквой k ( 
). Вычислим статистику
,
где n i - число элементов выборки в каждом из k интервалов; pi – теоретичес-кая вероятность попадания случайной величины в i -й интервал, которая опре-деляется по формуле
где вместо m берем , а вместо = S 2, т. е. 
.
Устанавливаем число степеней свободы r, которое для нормального закона вычисляем по формуле r = k- 3. Назначаем уровень значимости 
= 0, 05.
Для заданного уровня значимости р и найденного числа степеней свободы r по таблицам -распределения Пирсона находим значение 
и сравниваем между собой это значение и вычисленное значение статистики . Если окажется, что < , то гипотеза о нормальном распределении не отвергается, то есть экспериментальные данные не противоречат гипотезе о нормальном распределении генеральной совокупности (см. пособие с. 126-129).
Замечание. При вычислении теоретических вероятностей 
крайние интервалы и 
заменяются интервалами 
и 
.
Применим критерий к рассматриваемому примеру при уровне значимости p = 0, 05. Результаты вычислений помещены в таблице 5. Из этой таблицы имеем 
= 209, 16; = 209, 16 - 200 = 9, 16. По таблице -распределения находим: 
= 11, 07. Так как полученное нами значение = 9, 16 < 11, 07, то ги-потеза о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергается.
Тема 2