Образец решения типовых задач.

1. Найти производную :

А) б) в); г).

Нахождение производной функции заданной явно, с помощью правил дифференцирования:

(), , , , , , , сводят к нахождению табличных производных (приложение 6.3).

Решение.

а)

где

,

.

Тогда .

б) . Представим функцию в виде сложной функции и применим правило вычисления производной сложной функции

.

в) , где

= ;

Тогда .

г) , где

.

.

Тогда

.

2. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

а) б)

Вычисление предела , где , начинают всегда с подстановки в предельного значения её аргумента . В результате могут получиться неопределённости , …, которые раскрывают или тождественными преобразованиями такими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым, или применением правила Лопиталя.

При вычислении пределов будем использовать свойства конечных пределов и бесконечно больших и малых функций, а также следующие известные пределы: , , , .

Правило Лопиталя , где и - функции, дифференцируемые в окрестности , позволяет во многих случаях существенно упростить вычисление пределов. В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила. Перед очередным применением правила Лопиталя следует обязательно проверить, имеют ли место неопределённости или , если – да, то данное правило можно применить ещё раз. На каждом этапе его применения следует использовать, упрощающие отношение тождественные преобразования, а также комбинировать это правило с любыми другими известными приёмами вычисления пределов.

Решение. а) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . По правилу Лопиталя:

.

б) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Вычислим предел по правилу Лопиталя. Получим

Ответ:

А); б).

3. Для указанной функции требуется:

а) найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ;

б) составить уравнение касательной к графику функции в точке ;

в) провести полное исследование функции , построить её график.

Решение а).

Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или в точках , в которых или не существует, или на концах отрезка.

1а) Находим первую производную функции:

и определяем внутренние критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

, точек в которых не существует нет. Таким образом, единственной внутренней критической (стационарной) точкой функции на отрезке является точка .

2а) Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , .

3а) Сравниваем значения , , и находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке :

, .

Ответ: , .

Решение б).

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

1) найти область определения функции;

2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;

3) исследовать функцию на чётность, нечётность;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

1в) Находим область определения функции: = ).

2в) Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки и , не принадлежащие множеству , но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции:

, ,

, .

Так как односторонние пределы функции в точках и - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва.

3в) Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции = ) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида.

4в) Находим точки пересечения графика с осями координат.

Так как , то точек пересечения графика с осью нет.

Положим и решим уравнение . Его решением является . Следовательно, точка - точка пересечения графика с осью .

5в) Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции .

Так как точки и - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые и .

Прямая является наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и .

Вычисляем сначала пределы при :

, .

В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел:

Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

Аналогично вычисляем пределы при : , Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

6в) Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции:

и определяем критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

;

не существует при и .

Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции является точка .

Исследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки функции разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:

	+	+
	возрастает	возрастает		убывает	убывает

Так как при переходе слева направо через точку производная меняет знак с «+» на «», то точка является точкой локального максимума и .

7в) Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции:

и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки в которых или не существует: , так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней); не существует при и .

Таким образом, функция не имеет точек возможного перегиба.

Исследуем знак второй производной в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим таблицей:

	+		+
	график вогнутый	график выпуклый	график вогнутый

Точек перегиба нет.

8в) На основании полученных результатов строим график функции:

4. Для указанной функции требуется найти дифференциал и , если