Окрашиваемый массив , его корреляционная матрица , ее собственные векторы и значения рассчитывается программой

Корреляционная матрица, ее собственные векторы и значения рассчитывается программой

for i=1: n

for j=1: n

b(i, j)=r(abs(i-j)+1);

end

end

BY=b

[uy, vy]=eig(BY)

pause

Окрашиваемый массив, его корреляционная матрица, ее собственные векторы и значения рассчитывается программой

N=10000

x=randn(N, n);

BX=cov(x)

[ux, vx]=eig(BX)

pause

Оператор окрашивания, генерирование и оценка погрешностей реализуются программой

A=uy*vy^(1/2)*uy'*ux*vx^(-1/2)*ux'

Y=A*x';

BYY=cov(Y')

dB=BY-BYY

Погрешности правильно работающего генератора порядка .

Варианты задания.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Значения коэффициентов подбираются экспериментально.

2. Проектирование фильтров

По назначению фильтры делятся на ФНЧ (фильтры низких частот), ФВЧ (высоких частот), полосовые и режекторные фильтры. По типу выделяют фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические фильтры [4]. Базовым фильтром является ФНЧ: его можно пересчитать в другой. Амплитудно – частотную характеристику (АЧХ) фильтра стремятся приблизить к П – образной.

2.1. Фильтры Баттерворта

АЧХ фильтра Баттерворта (рис. 3)

,

- частота среза (для фильтра – прототипа она равна 1 рад/c), - порядок фильтра.

Рис. 3. АЧХ фильтра Баттерворта

На рис. 4 показаны АЧХ и ФЧХ фильтра Баттерворта четвертого порядка. Коэффициент передачи фильтра Баттерворта любого порядка на частоте среза рад/с ( Гц) равен дБ.

Рис. 4. Частотные характеристики фильтра Баттерворта

С увеличением порядка АЧХ фильтра Баттерворта становится круче (рис. 5).

Рис. 5. АЧХ фильтров Баттерворта

2.2. Фильтры Чебышева

АЧХ фильтра Чебышева первого рода (рис. 6)

,

- круговая частота среза, - полином Чебышева - го порядка, - коэффициент, определяющий уровень пульсаций в полосе пропускания. Для сравнения на рис. 6 показана АЧХ фильтра Баттерворта того же порядка. АЧХ фильтра Чебышева имеет бо’льшую крутизну.

Рис. 6. АЧХ фильтра Чебышева первого рода, четвертого порядка,

дБ

АЧХ фильтра Чебышева первого рода в пределах полосы пропускания () колеблется между значениями 1 и . Уровень пульсаций в полосе пропускания (в децибелах) связан с параметром :

, .

MATLAB – функция для расчета фильтра – прототипа Чебышева первого рода

[z, p, k]=cheb1ap(n, Rp).

АЧХ фильтра Чебышева второго рода (рис. 7)

,

- коэффициент, определяющий уровень пульсаций в полосе задерживания.

Рис. 7 АЧХ фильтра Чебышева второго рода, , дБ

Для сравнения на рис. 7 показана АЧХ фильтра Чебышева первого рода.

MATLAB – функция для расчета фильтра – прототипа Чебышева первого рода

[z, p, k]=cheb2ap(n, Rs).

Передаточные функции и фильтров Чебышева второго и первого рода в некотором смысле противоположны:

.

АЧХ фильтра Чебышева второго рода в полосе задерживания колеблется от нуля до значения , поэтому уровень пульсаций задается большим.

2.3. Эллиптические фильтры

АЧХ эллиптического фильтра (рис. 8)

,

- параметры, определяющие величину пульсаций в полосах пропускания и задерживания, - рациональная функция Чебышева - го порядка. Эллиптический фильтр объединяет свойства фильтров Чебышева и имеет наибольшую крутизну АЧХ.

MATLAB – функция для расчета эллиптического фильтра – прототипа

[z, p, k]=ellipap(n, Rp, Rs).

Рис. 8 АЧХ эллиптического фильтра, ,

дБ, дБ

2.4. Преобразования фильтров – прототипов

Возможны следующие преобразования:

- изменение частоты среза ;

- преобразование ФНЧ в ФВЧ;

- преобразование ФНЧ в полосовой фильтр;

- преобразование ФНЧ в режекторный фильтр.

Функция

[b1, a1]=lp2lp(b, a, w0),

изменяет частоту 1 рад/c на заданную частоту среза w0. Для перехода к частоте F (в герцах) следует задать w0=2*pi*F.

Пример 3. ФНЧ Баттерворта четвертого порядка с частотой среза Гц (рис. 9) реализуется программой

[z, p, k]=buttap(4)

[b, a]=zp2tf(z, p, k)

[B, A]=lp2lp(b, a, 2*pi*10)

f=0: 0.1: 100;

H=freqs(B, A, f)

G=abs(H)

plot(f/2/pi, G, ’k’)

Рис. 9. АЧХ: ФНЧ Баттерворта четвертого порядка, Гц