Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство .

Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

где .

Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b): , то есть . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .

Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид .

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке [1; 3], следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как . Возьмем первообразную при C = 0: .

Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: .

Пример.

По формуле Ньютона-Лейбница вычислите определенный интеграл .

Решение.

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [-1; 2], поэтому, интегрируема на нем.

Найдем неопределенный интеграл методом подведения под знак дифференциала: . Так мы получили множество всех первообразных функции для всех действительных x, следовательно, и для .

Возьмем первообразную при С=0 и применим формулу Ньютона-Лейбница:

Пример.

Вычислить определенные интегралы .

Решение.

На отрезке подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема.

Найдем множество первообразных функции : .

Возьмем первообразную и по формуле Ньютона-Лейбница вычислим требуемый определенный интеграл:

Переходим ко второму определенному интегралу.

На отрезке [-1; 1] подынтегральная функция не ограничена, так как , то есть, не выполняется необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Более того, не является первообразной функции на отрезке [-1; 1], поскольку точка 0, принадлежащая отрезку, не входит в область определения функции. Следовательно, не существует определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции на отрезке [-1; 1].

Итак, перед применением формулы Ньютона-Лейбница обязательно нужно убедиться, что указанный определенный интеграл существует.