Графическое и численное интегрирование.

Этот метод применяется в тех случаях, когда функцию нельзя проинтегрировать в аналитической форме. Численное интегрирование ведётся по квадратурным формулам Ньютона-Котеса, формулам Гаусса.

При заданных значениях функций для n+1 равноотстоящих значений аргумента квадратурные формулы Ньютона-Котеса имеют вид:

правило трапеций для n шагов

правило трапеций для n=1

правило Симпсона для n=2

правило Уэддля для n=6

При вычислениях на ЭВМ используют программы, имеющиеся в каталоге конкретной машины (например, QTFG или QSF).

При графическом определении интеграла подынтегральная функция задается графиком. Для примера рассмотрим определение угла поворота выходного звена по заданной кривой , полученной экспериментально.

График угловой скорости изображается в декартовых коор­динатах с учетом числовых значений масштабов: угловой скорости и времени . Промежуток времени от до , делится на такое количество интервалов , которое позволяет считать, что на каж­дом малом промежутке времени движение можно принять рав­номерным.

Эти промежутки времени, отмеченные на рис. 5.7, а точками 0, 1, 2, 3, 4, не обязательно должны быть равными.

В каждом интервале времени, например от до можно при­ближенно считать, что

т. е. можно принять, что площадь криволинейной трапеции равно­велика площади прямоугольника высотой и основанием .

Концы средних ординат для каждого интервала проецируют на ось ординат и соединяют найденные точки 1', 2', 3',..., i' с точкой D, которая ограничивает слева выбранный отрезок интегрирования OD длиной К, мм (рис. 5.7, a).

Лучи D1 ', D2 ', D3 ',..., проведенные через точку D, образуют углы D1’, с положительным направлением оси х, причем .

На искомом графике (рис. 5.7, б) проводят линии 01", 1" 2", 2" 3",..., параллельные в пределах соответствующих интервалов лучам Dl', D2', D3',.... Первый отрезок 01 " проводят через начало координат 0, следующие отрезки соответственно через точ­ку 1 ", затем через точку 2 " и т. д. Эти линии наклонены относи­тельно положительного направления оси х под углами соответственно, т. е.

Отрезки на графиках связаны с соответствующими физическими параметрами с помощью масштабов соотношениями:

Приравнивая правые части написанных выше соотношений для тангенса угла получаем:

Откуда масштаб искомого графика:

(5.18)