Краткая теория

Момент инерции является одной из характеристик твердого тела, проявляющаяся при вращательном движении. Поэтому прежде чем перейти к рассмотрению этой величин рассмотрим кратко виды движения.

Любое сложное движение твердого тела состоит из простых движений: поступательного и вращательного. Понимание особенностей этих движений - одна из задач данной работы. Поступательное движение твердого тела - это такое движение, при котором каждая линия, соединяющая две любые точки тела, сохраняет неизменное направление в пространстве. Поступательное движение может быть прямолинейным и криволиней­ным. Пример: движение кабинок с пассажирами на " чертовом" колесе – движение кабинок поступательное, а траектория каждой точки окружность. При поступательном движении твердое тело движется, не поворачиваясь, любая линия тела переносится параллельно самой себя. При поступательном движении все точки тела имеют одина­ковые скорости и ускорения. Зная движение одной точки тела, можно определить движение всех остальных точек.

Вращательное движение сложнее поступательного. Вращатель­ным движением называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями, с центром на одной прямой, называемой осью вращения. Неподвижная ось вращения может проходить сквозь тело, или лежать вне тела.

При вращательном движении тела линейная скорость и уско­рение различных частиц, вообще говоря, различны: чем дальше частица от оси, тем больше ее скорость. Но угловая скорость одинакова для всех частей тела, так как за данный промежуток времени все точки тела повернутся на одинаковый угол.

При равномерном вращении угловую скорость можно определить: где α – угол, на который тело повернулось за время t. Эта формула аналогична формуле Если угловая скорость изменяется со временем, то для характеристики быстроты изменения ω вводится угловое ускорение β, аналогичное линейному ускорению характеризующему быстроту изменения .

При равномерном вращении

Как и линейное ускорение, угловое ускорение твердого тела зависит от сил, приложенные к телу. Но оно зависит еще и от места приложения сил. Опыт показал, что угловое ускорение зависит от величины М, называемой момент сил: М = F·r; [М]=1 Н·м

Где r - плечо силы, то есть расстояние от оси вращения до прямой, по которой действует сила.

Линейное ускорение тела зависим от массы, угловое ускорение зависит от особой величины, называемой моментом инерции.

Обозначается I; [I]= кг·м². Момент инерции тела зависит не только от массы тела, но и от распределения массы относительно оси вращения, то есть у одного тела момент инерции относительно различных осей вращения неодинаков.

Основное уравнение динамики вращательного движения

В данной работе определяется момент инерции тела. Так же как тело обладает массой независимо от того движется оно или нет, тело обладает моментом инерция относительно любой оси.

Если тело разбить на элементарные массы m_i, и обозначить r_i- расстояние от m_i до оси вращения (рис 1), то моментом инерции тела относительно этой оси будет величина отсюда хорошо, видно, что I зависит и от массы тела и от выбора оси. Среди осей вращения выделяют оси, проходящие через центр инерции (центр масс) тела. Центр инерции - одна из характеристик твердого тела. В однородном поле тяготения центр инерции совпадает с центром тяжести. Центр инерции - это такая точка, которая движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.

В таблице 1 приведены моменты инерции некоторых однородных тел, имеющих оси симметрии. Ось в таблице - ось вращения.

Вычисление моментов инерции тел наиболее просто выполняется для однородных и симметричных тел относительно осей, совпадающих с осью симметрии. Эти оси приходят через центр симметрии. Момент инерции относительно произвольной оси можно вычислить по теореме Штейнера

где I₀ – момент инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, m - масса тела, a - расстояние между осями.