![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Движение твердого тела с закрепленной осью.Стр 1 из 3Следующая ⇒
Лабораторная работа 1-21 “Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний”
Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом измерения моментов инерции тел методом крутильных колебаний. Теоретическое введение Движение твердого тела с закрепленной осью. Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого в данных условиях можно пренебречь. При этом расстояния между любыми двумя точками тела остаются неизменными. При вращении тела с закрепленной осью все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. При таком движении путь S, скорость v, ускорение а разных точек тела неодинаковы, поэтому для описания движения неудобно пользоваться этими понятиями. Угол поворота α любой точки тела одинаков и может быть использован как мера перемещения тела. Угловое перемещение Вектор угловой скорости направлен по оси вращения так же, как и угловое перемещение. Быстроту изменения угловой скорости во времени характеризует угловое ускорение: Вектор углового ускорения направлен по оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина линейного перемещения dS точки, вращающейся по окружности радиуса r:
Разделив обе части уравнения (21.3) на
Теперь продифференцируем (20.4) по времени:
где Сформулируем и докажем основной закон динамики твердого тела. Он аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении:
и позволяет определить угловое ускорение твердого тела: угловое ускорение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси ОО (рис.21.1). Разобьем это твердое тело на отдельные элементарные массы Δ m i. Равнодействующую всех сил, приложенных к Δ m i, обозначим через F i. Достаточно рассмотреть случай, когда сила F i лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения: составляющие сил, параллельные оси, не могут влиять на вращение тела, так как ось закреплена. Тогда уравнение второго закона Ньютона для касательных составляющих силы и ускорения запишется в виде:
Нормальная составляющая силы
Умножим обе части (21.9) на
Заметим, что F ik r i= F i sinα r i= F i l i, где α – угол между вектором силы F i и радиус-вектором точки r i (рис.21.1), l i – перпендикуляр, опущенный на линию действия силы из центра вращения (плечо силы). Окончательно из (21.10) получим:
Скалярная величина
Векторы
Просуммируем (21.11) по всем элементарным массам, на которые разбито тело:
Здесь учтено, что угловое ускорение всех точек твердого тела одинаково, и его можно вынести за знак суммы. В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона, силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (21.14) остается суммарный момент только внешних сил: Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси:
Таким образом, из (21.14) получим (21.7). Момент инерции В случае непрерывного распределения массы сумма в (21.15) сводится к интегралу по всему объему тела: Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ, высотой h, внутренним радиусом R 1 и внешним радиусом R 2 (рис.21.2) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск на тонкие кольца толщиной dr и высотой h так, что внутренний радиус кольца равен r, внешний – (r+dr) (рис.21.3). Объем такого кольца
Подставим dm в (21.16) и проинтегрируем по r ( Масса диска В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (21.18) R 1=0, R 2= R и получим: Если ось вращения не проходит через центр масс тела, вычисления по формуле (21.16) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции
Испытуемое твердое тело 1, имеющее вид диска радиуса R, подвешено на упругой металлической проволоке 2 (рис.21.4) так, что нижний конец проволоки проходит через центр тяжести диска, а верхний закреплен. При повороте диска на некоторый угол aвокруг оси ОО возникают упругие силы, которые стремятся возвратить диск к положению равновесия. Возвращающий момент сил М обусловлен упругими деформациями, возникающими при закручивании стальной проволоки, с которой скреплена платформа. При малых углах поворота α можно считать, что этот момент сил прямо пропорционален углу поворота, то есть выполняется закон Гука:
где По основному закону динамики вращательного движения (21.7):
где
Уравнение (21.23) можно записать так: где принято обозначение: Уравнение вида (21.24) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является гармоническая функция:
Здесь ω – круговая частота колебаний, φ 0 – начальная фаза, φ =ω t+φ 0 – фаза колебаний в данный момент времени, α 0 – амплитуда колебаний (максимальное значение угла поворота α). Убедимся в том, что (21.26) является решением дифференциального уравнения (21.24) непосредственной подстановкой, вычислив производные:
Из (21.27) следует (21.24). Вообще, если вторая производная по времени какой-либо физической величины пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса. Период крутильныхколебаний, то есть время одного полного колебания, найдем из (21.25):
Из выражения (21.28) находим момент инерции тела: Для исключения из формулы (21.29) неизвестного модуля кручения К поступают следующим образом. На диск помещают дополнительный груз, момент инерции которого Iгруз относительно оси колебаний известен. При этом полный момент инерции тела с дополнительным грузом станет равным I 1= I+Iгруз, и период T 1 крутильных колебаний изменится: или: Поделив почленно (21.31) на (21.29), получим: откуда окончательно для неизвестного момента инерции платформы:
|