Формула Гріна.

Встановимо зв'язок між подвійним інтегралом по певній плоскій області та криволінійним інтегралом вздовж межі цієї області.

Нехай межа складається з кривих та , відрізків і , паралельних осям (рис. 7.1), і в області визначена неперервна функція , що має неперервну частинну похідну .

Рис. 7.1.

Обчислимо .

Переходячи до повторного інтеграла, отримаємо:

(7.2)

З іншого боку, інтеграл вздовж межі області , з врахуванням того, що на вертикальних ділянках і , можна записати:

(7.3)

Праві частини двох останніх формул відрізняються лише знаком, тому

. (7.4)

Отримана формула називається малою формулою Гріна (Джордж Грін – англійський математик 1793-1841). Можна довести, що вона має місце і для області, зображеної на рис. 7.2.

Рис. 7.2.

Неважко також довести, що ця формула справедлива для будь-якої області, що розпадається на скінченну кількість частин, що зображені на рисунках 7.1 та 7.2.

Якщо в області визначена та є неперервною функція , яка має неперервну частинну похідну , то аналогічно можна довести другу малу формулу Гріна:

. (7.5)

Віднімаючи з (7.5) вираз (7.4) отримаємо:

. (7.6)

Формула (7.6) називається формулою Гріна. Вона встановлює зв'язок між подвійним інтегралом по області та криволінійним інтегралом вздовж межи цієї області.

Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл другого роду , де замкнений контур складається з частин кривих (напрямок обходу додатний).

Рис. 7.3.

Розв’язання. Спочатку обчислимо даний інтеграл безпосередньо. Він дорівнює

.

Відрізок прямої , з врахуванням напрямку руху, можна записати: . Відповідно і інтеграл

.

Дуга параболи задається рівнянням , а змінна змінюється від до , тому

.

Остаточно .

Контур (рис. 7.3) – замкнений, застосуємо формулу Гріна, враховуючи те, що , :