Границы применимости линейного закона фильтрации

Также как и в пористых средах в трещиноватых породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Re_кр =500, а для шероховатых трещин - 0, 4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

Для трещиноватой среды выражение для числа Рейнольдса получается аналитически и равно

, (1.44), а Re_кр = 0, 4.

11. Одномерным называется поток, в котором параметры являются функцией только одной пространственной координаты, направленной по линии тока. К одномерным потокам относятся:

1) прямолинейно-параллельный:

2) плоскорадиальный;

3) радиально-сферический.

Описание одномерных потоков

Прямолинейно-параллельный поток. Траектории всех частиц жидкости - параллельные прямые, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока равны между собой, поверхности равных потенциалов (эквипотенциальные поверхности) и поверхности равных скоростей (изотахи) являются плоскими поверхностями перпендикулярными траекториям. Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока идентичны, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат - осьх.

Примеры.

а) Пласт (рис.3.1) имеет в плане полосообразную форму шириной B и длиной L, толщина пласта h постоянна, граничный контур непроницаем и непроницаемы кровля и подошва пласта. Батарея эксплуатационных скважин расположена параллельно начальному контуру нефтеносности. Приближение тем больше, чем меньше расстояние между скважинами и если заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой - галереей, то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно-параллельным.

в) в лабораторных условиях при течении через цилиндрический керн или прямую трубу постоянного сечения, заполненную пористой средой.

2. Плоскорадиальный поток. Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру скважины, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока параллельны и равны между собой; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют цилиндрические окружности с осью, совпадающей с осью скважины. Схемы линий тока в любой горизонтальной плоскости потока будут идентичными и для характеристики потока достаточно рассмотреть движение жидкости в одной горизонтальной плоскости.

Примеры.

а) Горизонтальный пласт постоянной толщины (h) и неограниченной протяженности, подошва и кровля пласта непроницаемы. Пласт вскрыт единственной гидродинамически - совершенной скважиной (рис. 3.2), т.е. вскрыт на всю толщину и забой полностью открыт. Для эксплуатационной скважины поток - радиально-сходящий, а для нагнетательной - радиально-расходящий. Плоскорадиальным потоком будет занята вся зона от стенки скважины до контура питания.

б) Гидродинамически - несовершенная скважина (скважина с перфорированным забоем – несовершенство по характеру вскрытия или не полностью вскрывшая пласт – несовершенство по степени вскрытия) - вблизи скважины линии тока искривляются, и поток можно считать плоскорадиальным только при некотором удалении от скважины.

Различают два вида несовершенства скважин - несовершенство по степени вскрытия и несовершенство по характеру вскрытия.

Несовершенная скважина по степени вскрытия - это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а частично (рис.4.18а).

Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта (рис. 4.18b).

На практике чаще всего встречаются скважины несовершенны как по степени, так и по характеру вскрытия пласта.

в) Круговая батарея эксплуатационных скважин - поток плоскорадиален на некотором удалении, т.к. жидкость движется как бы к укрупнённой скважине радиуса, равного радиусу окружности батареи.

3. Радиально-сферический поток. Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру полусферического забоя; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют сферические поверхности. Скорость фильтрации в любой точке потока является функцией только расстояния этой точки от центра забоя. Следовательно, этот вид фильтрационного потока также является одномерным.

Такой поток может реализовываться, когда скважина вскрывает только плоскую горизонтальную, непроницаемую кровлю пласта (рис.3.3). Пласт при этом должен быть неограниченной толщины, а забой иметь полусферическую форму. Приближение к данному виду потока тем лучше, чем глубина вскрытия меньше толщины пласта.

Описанные три вида одномерного потока играют большую роль при решении многих задач нефтегазопромысловой практики. Они лежат в основе ряда исследований закономерностей течения жидкости в пласте в зависимости от принятой системы разработки или от конструктивных особенностей скважин. Естественно, моделируя каждый из трёх видов одномерного потока, мы прибегаем к некоторой схематизации реальных пластов и течений жидкости. Тем не менее, рассмотренные схемы не только воспроизводят хотя и приближенно простейшие случаи течения жидкости в реальном пласте, но и помогают изучать более сложные виды потоков пластовой жидкости в тех случаях, в которых сложный фильтрационный поток удобно представить себе состоящим из простейших видов потока.

К числу сложных потоков можно отнести: плоский фильтрационный поток в случае, когда число скважин не менее двух; многофазные течения и т.д.

12. При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки от:

1) галереи (для прямолинейно- параллельного потока);

2) центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоско-радиального потока);

3) центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

В случае одномерного потока пласт представляется укрупнённой трубкой тока, а из условия неразрывности потока (уравнение 2.3.) следует, что при установившейся одномерной фильтрации массовый расход жидкости в единицу времени (массовый дебит G) через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r=const, в трубке тока будет один и тот же. Таким образом,

r u= G /F(r), ( 3.2)

где F=F(r)- площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r. Отметим, в данном случае средняя скорость фильтрации на некоторой эквипотенциальной поверхности совпадает со скоростью фильтрации в любой точке этой поверхности.

Определим величину площади F для различных видов одномерных потоков:

а) прямолинейно-параллельный поток - F(r)=Bh, В – ширина пласта.

б) плоско-радиальный поток - F(r) =2p h r;

в) радиально-сферический поток - F(r) = 2p r².

Следует отметить, что положительный массовый дебит будет в тех случаях, когда r отсчитывается от стока, т.е. галерея или скважина - эксплуатационная. О бщее дифференциальное уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока имеет вид:

(3.3)

где А и j имеют значения:

* прямолинейно-параллельный поток - A=Bh, j=0;

* плоско-радиальный поток - A =2p h, j=1;

* радиально-сферический поток - A = 2p, j=2.

Параметр j получил название показателя формы потока, т.к. характеризует вид одномерного течения.

Уравнения для потенциала

, j=0, 2 (3.4)

где С - произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.

При j=1 (плоскорадиальный поток) интегрирование (3.3) даёт

. (3.5)

Для того, чтобы найти единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, необходимо определить постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи:

1. Известны: постоянный массовый дебит G и значение потенциала j на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины (G=G₀=const, j = j _к при r=r_к).

Подставляя данные значения в (3.4) получим

. (3.6)

Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита

G=G₀=const.

2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на границе пласта с областью питания (на контуре питания). Таким образом,. j = j _с при r=r_c; j = j _кприr=R_к.

Массовый дебит G или объёмный дебит Q можно найти по следующей формуле:

(3.7)

Q=G/ρ.

где значения А и j приведены выше.

Исключая из (3.6) величину G / A, при помощи формулы (3.7) получим

(3.8)

По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит не известен.

В случае плоскорадиального потока (j=1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:

(3.9)

(3.10)

13. В данном случае k=const, r=const, h=const,

. (3.11)

Следовательно:

распределение давления

(3.19)

градиент давления

(3.20)

объёмный дебит (формула Дюпюи)

(3.21)

скорость фильтрации

(3.22)

закон движения частиц флюида

Движение частицы описывается уравнением .

Интегрируем данное соотношение по времени от 0 до t и по расстоянию от R₀ до r, где R₀ - начальное положение частицы флюида. В результате получим

. (3.23)

Время отбора всей жидкости из кругового пласта

. (3.24)

* средневзвешенное давление

. (3.25)

С целью получения выражения для средневзвешенного давления определим

(3.26)

и, подставив в (3.25) выражение (3.19), проинтегрируем от r_c до r_к. Пренебрегая r_с по сравнению с r_к получим

. (3.27)

Анализ:

1. Дебит не зависит от r, а только от депрессии d р_к. График зависимости Q от d р_к (Рис.3.4) называется индикаторной диаграммой, а сама зависимость - индикаторной. Отношение дебита к депрессии называется коэффициентом продуктивности скважины

Dr

(рис.3.5) и образуют гиперболу с резким возрастанием значений при приближении к забою.

3. Графиком зависимости р=р(r) является логарифмическая кривая

(рис.3.6), вращением которой вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая воронкой депрессии. Отсюда, основное влияние на дебит оказывает состояние призабойной зоны, что и обеспечивает эффективность методов интенсификации притока.

4. Изобары - концентрические, цилиндрические поверхности, ортогональные траекториям.

5. Дебит слабо зависит от величины радиуса контура r_к для достаточно больших значений r_к /r_c, т.к. r_к /r_c входят в формулу под знаком логарифма.

14. Для данных условий r=const, h=const, и

. (3.12)

Основные зависимости:

распределение давления

(3.29)

градиент давления

(3.30)

объёмный дебит (формула Дюпюи)

, (3.31)

где знаки перед выражением в правой части зависят от того, является ли скважина эксплуатационной или нагнетательной;

скорость фильтрации

(3.32)

При малых депрессиях на пласт из-за малости b^* можно считать, что

и тогда зависимость для давления (3.29) переходит в вид, аналогичный распределению давления в недеформируемом пласте.

Анализ течения несжимаемой жидкости в трещиноватом пласте:

1. В общем случае воронка депрессии для деформируемого пласта более крутая, чем для недеформируемого пористого пласта (рис. 3.7). Указанный характер графиков подтверждает, что в деформируемом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные фильтрационные сопротивления, вызывающие резкое понижение давления на сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим b^* (коэффициент объемного расширения).

2. Из формулы для объёмного дебита (3.31) следует, что индикаторная кривая - парабола четвёртого порядка с координатами вершины:

. (3.33)

Парабола проходит через начало координат, симметрична относительно оси, параллельной оси дебитов. Если учесть реальные пластовые условия (полного смыкания трещин не происходит: не учитываются факторы, связанные с изменением характеристик течения из-за изменения раскрытия трещин в направлении потока), то можно говорить только о приближённом выполнении экстремальных условий (3.33).

3. Комплексный параметр b^* можно определить или графоаналитически, или непосредственно из выражения для объемного дебита (формула Дюпюи), взяв по индикаторной кривой два известных значениях дебита Q₁ и Q₂ при двух значениях депрессии Dр_с1, Dр_с2, т.е. из соотношения

. (3.34)

По найденному b ^* можно из уравнения для объемного дебита определить проницаемость k⁰_т.

15. В продуктивных пластах в различных точках проницаемость не одинакова. При мелкомасштабном хаотичном изменении фильтрационных характеристик по пласту пласт считается в среднем однородно-проницаемым.

Пласт называется макронеоднородным, если его фильтрационные характеристики (проницаемость, пористость) значительно, скачкообразно отличаются в разных областях.

Различают следующие виды макронеоднородности:

а) Слоистая неоднородность (многослойный пласт), т.е. неоднородность по толщине пласта. Предполагается, что пропластки разделены непроницаемыми границами - гидравлически изолированы, либо учитываются перетоки между слоями различной проницаемости - гидравлически сообщающиеся; поток в каждом пропластке - прямолинейно-параллельный или плоскорадиальный; в пределах каждого пропластка фильтрационные параметры постоянны, а на границе соседних они претерпевают скачок.

Если течение потенциально, то полный дебит пласта определяется как сумма дебитов всех пропластков. При практических расчетах указанный многослойный пласт можно заменить квазиоднородным («квази» - мнимый, ненастоящий) с эффективной проницаемостью

, (3.58)

где k_i, h_i - проницаемость и эффективная толщина i -го пропластка, h - эффективная толщина всего пласта.

б) Зональная неоднородность - пласт по площади состоит из нескольких зон различных фильтрационных параметров, на границах которых данные параметры меняются скачкообразно.

Согласно уравнению неразрывности массовый дебит постоянен и равен:

при прямолинейно-параллельном потоке

; (3.59)

В – ширина пласта.

при плоскорадиальном потоке

, (3.60)

где В - ширина пласта; l_i, r_i - протяженность i - ой зоны или её внешний радиус (r₀=r_c); , i=1,..., n; n - число зон.

При замене зонально-неоднородного пласта - квазиоднородным следует использовать средние эффективные проницаемости:

при прямолинейно-параллельном потоке

; (3.61)

при плоскорадиальном потоке

, (3.62)

где L, R_к - расстояние от галереи до контура и радиус контура.

В практике важное значение имеет случай притока к скважине при наличии вокруг забоя кольцевой зоны с проницаемостью, отличной от проницаемости пласта (торпедирование или кислотная обработка, установка гравийного фильтра, глинизация или парафинизация призабойной зоны и т.д.). При данной задачи надо установить влияние различия проницаемостей кольцевой призабойной зоны и остальной части пласта на продуктивность скважины. С этой целью сравним дебит скважины в неоднородном пласте с двумя областями (n =2 в формуле 3.60) проницаемости с дебитом скважины в однородном пласте (n =1). Расчеты показывают:

1) Недопустимость постановки прогноза на будущий дебит, исходя только из данных о проницаемости призабойной зоны пласта, а следует использовать квазиоднородное приближение (формула 3.62).

2) Ухудшение проницаемости призабойной зоны сильнее влияет на дебит, чем увеличение проницаемости в этой зоне. Если произойдёт заметное ухудшение проницаемости даже в небольшой области пласта, примыкающей к скважине, то дебит скважины резко снизится.

3) В случае фильтрации по закону Дарси увеличивать проницаемость призабойной зоны более чем в 20 раз не имеет смысла, т.к. дальнейшее увеличение проницаемости практически не ведёт к росту дебита.

4) Нарушение в пластовых условиях закона Дарси усиливает положительное влияние увеличенной проницаемости призабойной зоны на производительность скважины.

16. При разработке нефтяных и газовых месторождений (НГМ) возникает два вида задач:

1. Задаётся дебит скважин и требуется определить необходимое для этого дебита забойное давление и, кроме того, давление в любой точке пласта. В данном случае величина дебита определяется значением предельной для имеющихся коллекторов депрессией, при которой ещё не наступает их разрушение, или прочностными характеристиками скважинного оборудования, или физическим смыслом. Последнее означает, например, невозможность установления нулевого или отрицательного забойного давления.

2. Задаётся забойное давление и требуется определить дебит. Последний вид условия встречается наиболее часто в практике разработки НГМ. Величина забойного давления определяется условиями эксплуатации. Например, давление должно быть больше давления насыщения для предотвращения дегазации нефти в пласте или выпадения конденсата при разработке газоконденсатных месторождений, что снижает продуктивные свойства скважин. Наконец, если возможен вынос песка из пласта на забой скважины, то скорость фильтрации на стенке скважины должна быть меньше некоторой предельной величины.

Замечено, что при эксплуатации группы скважин в одинаковых условиях, т.е. с одинаковым забойным давлением, дебит всего месторождения растёт медленнее увеличения числа новых скважин с теми же забойными условиями (рис.4.1). Увеличение дебита при этом требует понижения забойного давления.

Для решения поставленных задач решим задачу плоской интерференции (наложения) скважин. Предположим, что пласт - неограниченный, горизонтальный, имеет постоянную мощность и непроницаемую подошву и кровлю. Пласт вскрыт множеством совершенных скважин и заполнен однородной жидкостью или газом. Движение жидкости - установившееся, подчиняется закону Дарси и является плоским. Плоское движение означает, что течение происходит в плоскостях, параллельных между собой и картина движения во всех плоскостях идентична. В связи с этим разбирается течение в одной из этих плоскостей - в основной плоскости течения.

Решение задач будем строить на принципе суперпозиции (наложения) потоков. Основанный на этом принципе метод суперпозиции заключается в следующем.

При совместном действии в пласте нескольких стоков (эксплуатационных скважин) или источников (нагнетательных скважин) потенциальная функция, определяемая каждым стоком (источником), вычисляется по формуле для единственного стока (источника).

Потенциальная функция, обусловленная всеми

стоками (источниками), вычисляется путём алгебраического сложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции. Суммарная скорость фильтрации определяется как векторная сумма скоростей фильтрации, вызванная работой каждой скважины (рис.4.2b).

Пусть в неограниченном пласте действует n стоков с положительным массовым дебитом G и источников с отрицательным дебитом (рис. 4.2a).. Поток в окрестности каждой скважины в этом случае плоскорадиален и потенциал:

, (4.1)

где i - номер скважины; r_i - расстояние между некоторой точкой пласта М и центром скважины под номером i.

Пользуясь методом суперпозиции, определим потенциал сложного потока

, (4.2)

где .

Зависимость (4.2) физически означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника-стока накладываются друг на друга. Т.к. пласт предполагается неограниченным, то потенциал на бесконечности равен бесконечности. В центрах стоков-источников (r_i =0) потенциал также равен бесконечности.

Если жидкость несжимаема, то вместо массовых дебитов можно использовать объёмные дебиты Q в зависимости (4.2).

Для определения уравнений эквипотенциальных поверхностей (изобар) следует иметь в виду, что во всех точках этих кривых значение потенциала (давления) должно оставаться неизменным. Таким образом, приравнивая (4.2) к некоторой постоянной получим

, (4.3)

где П - знак произведения; С₁ - постоянная.

Линии тока образуют семейство кривых, ортогональных изобарам.

Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу произвольной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах вводятся фиктивные стоки или источники за пределами пласта. Фиктивные скважины в совокупности с реальными скважинами обеспечивают необходимые условия на границах, и задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Данный метод называется методом отображения источников и стоков.

17. Пусть сток О₁ и источник О₂ равно дебитны, т.е. имеют одинаковые по модулю массовые дебиты G. Расстояние между источником и стоком равно 2а. Исследуем поток от источника к стоку.

Проведём ось 0х через точки О₁ и О₂ таким образом, чтобы точка О₁ находилась от начала координат 0 на расстоянии а₁, а точка О₂ на расстоянии а₂ (рис. 4.3).

 

 

По формуле (4.2) определим потенциальную функцию потока. При этом учтем знаки дебитов: источник G ₁= - G, а сток G ₂= + G. После подстановки получим:

 

, (4.5)

где r₁ и r₂ - расстояния любой точки пласта до стока и источника, соответственно.

Уравнение изобар (4.4) при этом будет иметь вид

(4.6)

и соответствует окружностям, центры которых расположены на оси 0х. Если поместим начало координат в центре какой-либо окружности семейства, то радиус данной окружности определится выражением

, (4.7)

а коэффициент . (4.8)

Подставляя С₁ в (4.7) найдем

. (4.9)

Из (4.9) видно, что a₁ < R < a₂ или a₂ < R < a₁; следовательно, все окружности пересекают ось между стоком и источником, а значит, одна из особых точек находится внутри окружности данного радиуса R, другая - вне этой окружности. Точки О₁ и О₂, положения которых на прямой 0х определяются равенством (4.7), называются взаимо-симметричными относительно окружности радиуса R.

Допустим, что радиус R=¥, т.е. берём ту эквипотенциальную линию, которая является прямой. Из (4.7) следует, что в этом случае С₁=1 и, как следует из (4.6), r₁=r₂. Последнее равенство означает, что в числе эквипотенциальных линий есть прямая 0у^, , которая делит расстояние между стоком и источником пополам и параллельна оси 0у (рис.4.3).

Итак, эквипотенциальные линии (изобары) при совместном действии одной эксплуатационной и одной нагнетательной скважин в неограниченном пласте представляют собой окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через центры скважин (рис.4.4).. Среди окружностей есть одна, имеющая бесконечно большой радиус - прямая, которая делит расстояние между скважинами и всю плоскость течения пополам. Половина всех окружностей конечного радиуса R расположена по одну сторону от этой прямой, остальные окружности - по другую.

Семейство линий тока ортогонально изобарам и, следовательно, в данном случае тоже окружности. Все линии тока проходят через сток и источник. Центры всех окружностей линий тока расположены на прямой, делящей расстояние между стоком и источником пополам (рис.4.4).

 

 

Решая, полученную систему уравнений, имеем

 

. (4.10)

2а – расстояние между источником и стоком.

Массовая скорость фильтрации в любой точке пласта М (рис.4.2) находится по правилу суперпозиции сложения векторов скорости от действия источника и стока

. (4.11)

Величина корня есть расстояние между источником и стоком 2а и, следовательно, формула (4.11) перепишется в виде

(4.12)

Для поддержания пластового давления часто используется нагнетание воды в пласт. Определим время движения частицы по кратчайшему пути между нагнетательной и эксплуатационной скважинами для однородной несжимаемой жидкости, т.е. по оси 0х. При жестководонапорном режиме решается при этом вопрос о времени, протекшем от начала закачки воды в пласт до начала её прорыва в эксплуатационную скважину.

Чтобы решить указанную задачу выразим скорость в (4.12) через производную расстояния по времени и, поместив начало координат в сток О₁, проинтегрируем полученное уравнение по х от х₀ до х. Тогда время движения частицы от некоторой точки х ₀до точки х определится зависимостью

. (4.13)

Время обводнения Т, т.е. прохождения частицы расстояния О₁О₂ = 2а определится из (4.13), если принять х=0; х₀=2а

, (4.14)

где m - пористость; Q - объёмный дебит.

Зная Т можно найти площадь обводнения w, приравнивая объёмы TQ и mhw. Откуда

. (4.15)

Таким образом, расстояние, пройденное частицей за время Т от нагнетательной скважины до эксплуатационной, вдвое больше расстояния пройденного другой частицей за это же время в положительном направлении оси х.

18. В большинстве практических случаев контур питания находится довольно далеко. Поэтому решения данной задачи позволяют провести предварительную оценку однородных участков месторождений.

Пусть в пласте расположена группа из n скважин (рис. 4.5) с различными для общности дебитами G_i, забойными потенциалами p_i и радиусами скважин r_i. Расположение скважин задано и на достаточно большом удалении находится контур питания, форма которого неизвестна, но известен порядок расстояния r_к от контура питания до группы скважин. При этом r_к на много больше расстояния между скважинами. Считаем, что дан потенциал контура j_к и забойные потенциалыскважин j _i.

Для определения дебитов используем формулу метода суперпозиции , при помещении точки М на забое каждой скважины, что позволяет записать n - уравнений вида

, (4.16)

 

где r_ci - радиус скважины на которую помещена точка М; r_ji - расстояние между i - ой и j - ой скважинами; j_ci - забойный потенциал i - ой скважины.

Неизвестных же - n+1, так как константа тоже неизвестна. Для нахождения константы С воспользуемся условием j=j_к на удалённом контуре питания:

, (4.17)

Таким образом, плоская задача интерференции при удалённом контуре питания сводится к решению алгебраической системы уравнений первой степени (4.16), (4.17).

При помощи данной системы можно находить или депрессию при заданном дебите, или получить значения дебитов при заданных депрессиях. При найденных дебитах можно определить пластовое давление в любой точке, причем результат будет тем точнее, чем дальше эта точка отстоит от контура питания.

Пусть в полосообразном пласте пробурена одна скважина с центром в точке О1на расстоянии а от прямолинейного контура (ось у) бесконечного протяжения, на котором поддерживается постоянный потенциал jк. На скважине радиуса rc поддерживается постоянный потенциал jс. Найдём дебит скважины G и распределение функции j.

Так как контур питания пласта 0у является эквипотенциальной линией, то все линии тока, сходящиеся в центре скважины О₁, должны быть перпендикулярны к прямой 0у (рис.4.6). Для определения поля течения добьёмся выполнения граничных условий на контуре введением фиктивного источника О₂ с дебитом, равным дебиту стока О₁, путём зеркального отображения данного стока относительно прямой 0у. Таким образом, используем ранее упомянутый метод отображения и задачу о потоке в пласте с прямолинейным контуром питания и с одиночной эксплуатационной скважиной сведём к задаче о совместном действии источника и стока равной производительности. Отличие данных задач только в постановке граничных условий: в первой задаче источник питания - нагнетательная скважина, а в данном случае - прямолинейный контур, а источник О₂ фиктивный.

Таким образом, используем для определения дебита выражение (4.10) , но со следующей заменой граничных условий:

j=j_к при r₁=r₂, т.е. при r₁/r₂=1;

j=j_с при r₁=r_с, r₂»2а, т.е. при r₁/r₂» r_с /2а;

Подставляя последовательно соответствующие граничные значения j, r₁ и r₂ в равенство (4.10) получим два уравнения, определяющих потенциалы на контуре и забое. Из этих уравнений легко находится массовый дебит одиночной скважины в пласте с прямолинейным контуром

. (4.18)

Если бы в пласте была нагнетательная скважина, то в формуле (4.18) достаточно только изменить знак правой части.

20. В естественных условиях контур питания имеет произвольную форму и её не всегда удаётся определить. Кроме того, часто не удаётся определить достаточно точно и расстояние а от скважины О₁ до контура. Любой произвольный контур В находится между прямолинейным В_пр и круговым В_кр. (рис.4.7).

Расчеты дебитов, проведенные для этих двух крайних разновидностях контуров, показали:

1)При вычислении дебита скважины форма внешнего контура пласта не имеет сколько-нибудь существенного значения.

2)Чем дальше от внешнего контура пласта находится скважина, тем меньший дебит она имеет. Однако так как величина расстояния входит под знаком логарифма, то даже значительное изменение этого расстояния мало влияет на величину дебита.

3)В случае расположения скважины эксцентрично относительно контура поток можно считать плоско-радиальным и дебит рассчитывать по формуле Дюпюи если r_к.> 10³ r_c и эксцентриситет а₁< r_к /2.

Таким образом, для практических расчетов точное знание формы и расстояния до контура питания необязательно, но порядок расстояния до контура питания должен быть известен.

Эксцентриситет – смещение оси.

21. Пусть центры скважин располагаются в вершинах правильного n - угольника так, что скважины образуют кольцевую батарею радиуса а (рис. 4.8). Контур питания удалён от скважин на расстояние, значительно превышающее радиус батареи и тогда можно считать, что все скважины равноудалены от контура питания на расстояние r_к. Будем считать, что на контуре питания поддерживается постоянное значение потенциала j_к и на контуре скважин потенциал постоянен и равен j_с. В данной постановке, следовательно, надо решить задачу о плоском течении к n точечным стокам, размещённым равномерно на окружности радиуса а. Для получения формулы дебита скважин воспользуемся формулой (4.2, метод суперпозиции) и получим:

, (4.20)

где G - массовый дебит любой скважины батареи, r_i - расстояния от некоторой точки пласта до всех n скважин; h - толщина пласта.

Граничные условия:

на контуре питания j=j_к=const при r_j=r_к;

на контуре скважины j=j_с=const при r₁=r_с;

r_i(i¹ 1)=2a sin[(n-1)p/n].

Используя данные граничные условия, преобразуем формулу (4.20)

, (4.21)

. (4.22)

В последнем выражении

. (4.23)

Тогда (4.22) перепишется в виде

(4.24)

И из (4.21), (4.24) получим выражение для определения дебита скважины

(4.25)

Формула (4.25) - приближенная. Её можно применять в случае, если размеры пласта во много раз больше площади внутри окружности батареи скважин, например, при водонапорном режиме, когда жидкость можно считать несжимаемой. Если же в пласте установился режим растворенного газа, то трудно ожидать, что площадь, занятая газированной жидкостью, простирается до границ пласта. Если расстояние до контура незначительно превышает радиус батареи, то, строго говоря, следует воспользоваться более точной формулой

(4.27)

Определим дебит батареи, умножив формулу (4.25) на число скважин в батареи n

. (4.28)

Рассмотрим поле течения в области действия круговой батареи, т.е. рассмотрим, как выглядит семейство линий тока и изобар. Уравнение изобар получаем из (4.3) путём представления радиусов r_j в полярной системе координат (рис.4.8).

. (4.29)

Данное уравнение позволяет построить поле изобар, а линии тока пересекают изобары под прямым углом.

Плоскость течения (рис. 4.9) кольцевой батареи с n равнодебитными скважинами, размещенными в вершинах правильного многоугольника, делится на n равных частей (секторов) прямыми линиями тока Н, сходящимися в центре батареи и делящими расстояние между двумя соседними скважинами пополам. Эти линии тока называются нейтральными. Другое семейство прямых линий тока Г проходит через центры скважин и делит сектор, ограниченный двумя нейтральными линиями, пополам. Это - главные линии.

Семейство изобар подразделяется на два подсемейства, которые разграничиваются изобарой пересекающей себя в центре батареи столько раз, сколько скважин составляет данную батарею. Первое подсемейство изобар определяет приток к отдельным скважинам и представляет собой замкнутые, каплеобразные кривые, описанные вокруг каждой скважины. Второе семейство - определяет приток к батареи в целом и представляет собой замкнутые кривые, описанные вокруг батареи.

Скорость фильтрации по главным линиям максимальна, а по нейтральным линиям - минимальна. В центре кольцевой батареи скорость фильтрации равна нулю, т.е. частица жидкости, находящаяся в точке, в которой изобара пересекает сама себя, неподвижна. Такие точки фильтрационного поля называются точками равновесия и при разработке в окрестностях таких точек образуются “ застойные области”. В условиях водонапорного режима в этих областях могут возникать “целики нефти”. Целик – часть залежи (пласта) полезного ископаемого, не извлеченная в процессе разработки месторождения. Зная положения точек равновесия в пласте, можно находить рациональные приёмы для своевременной ликвидации целиков нефти. Одним из таких приёмов является изменение режима работы скважин, заставляющее нефть целика прийти в движение в нужном направлении.

Для кольцевой батареи, можно сделать ряд оценок эффекта взаимодействия:

* дебит изменяется непропорционально числу скважин и радиусу батареи (расстоянию между скважинами);

* с увеличением числа скважин дебит каждой скважины уменьшается при постоянном забойном давлении, т.е. растет эффект взаимодействия;

* взаимодействие скважин может практически не проявляться только при очень больших расстояниях между скважинами (в случае несжимаемой жидкости, строго говоря, влияние скважин распространяется на весь пласт);

* с увеличением числа скважин темп роста суммарного дебита батареи замедляется (рис. 4.1), а именно, сверх определённого предела увеличение числа скважин оказывается неэффективным в виду прекращения прироста дебита.

22. Рассмотрим, как и в предыдущем случае, приток к батареи при удалённом контуре питания в режиме поддержания постоянного забойного давления. В отличие от круговой батареи необходимо различать два случая:

* число скважин батареи нечетное;

* число скважин четное.

В обоих случаях дебиты скважин, равноудаленные от середины или от концов батареи, будут одинаковы, а при разной удаленности будут отличаться. Последнее вызывается не одинаковой интенсивностью влияния со стороны скважин батареи на те или иные скважины. При этом при нечетном числе скважин дебит средней скважины отличается от дебитов других скважин.

Дебиты равномерно расположенных скважин можно определить общим методом с использованием формулы для вычисления потенциала методом суперпозиции (4.2) . Можно вывести аналогичные уравнения для любой скважины прямолинейной батареи конечной длины в пласте с прямолинейным контуром питания, но с использованием дополнительно метода отображения. В этом случае запись уравнений оказывается громоздкой из-за необходимости учета не только взаимных расстояний между скважинами, но также расстояний между скважинами и воображаемыми источниками и расстояний между ними.

Для практических расчетов можно использовать приближенную формулу П.П. Голосова для общего дебита скважин прямолинейной батареи:

для нечетного числа скважин 2 n+1, где n - любое целое число

; (4.30)

для четного числа скважин 2 n

. (4.31)

Здесь h - толщина пласта; s - расстояние между скважинами; L – расстояние до контура.

Ошибка в определении дебитов по данным формулам не превышает 3-4% при L=10км, r_с=10см при расстояниях между скважинами 100м£ s £ 500м.

Приведенные формулы можно использовать при любом контуре питания, т.к. проведенные ранее исследования взаимодействия двух скважин показали, что форма контура питания пласта мало влияет на взаимодействие скважин. Что касается расстояния скважин до контура питания, то по мере приближения скважин к контуру питания эффект взаимодействия уменьшается, но в реальных условиях значительного удаления скважин от контура питания погрешность определения расстояния до контура даже в 100% не отражается значительно на эффекте взаимодействия. Для однородных пластов и жидкостей относительные изменения дебитов скважин, вызванные эффектом взаимодействия, не зависят от физико-геологических характеристик пласта и от физических параметров жидкости.

Рассмотрим теперь фильтрационное поле (рис. 4.11), поддерживаемое, для простоты, бесконечной цепочкой равностоящих скважин (требование бесконечности приводит к ликвидации граничных эффектов на концах батареи и равнодебитности скважин, т.к. все скважины оказываются в равных условиях притока к ним флюидов).

Для получения формул дебита скважины бесконечной прямолинейной батареи использует формулу (4.25) дебита скважины кольцевой батареи. Положим, что

r_к=l+a;

a=ns /(2p), ( 4.32)

где l=const - разность между радиусом контура питания и радиусом кольцевой батареи а; s=const - длина дуги окружности радиусом а между двумя соседнимискважинами кольцевой батареи.

Подставив значения r_к, a в формулу (4.25), получим

, (4.33)

где z=s / (2pl).

Переходя в данной формуле к пределу при n®¥ и учитывая, что =e, получим формулу массового дебита скважины прямолинейной батареи

. (4.34)

Здесь L - расстояние от контура питания до батареи; s - расстояние между скважинами батареи; h - толщина пласта.

Суммарный дебит из n - скважин определится следующим выражением

. (4.35)

Для несжимаемой жидкости соотношение (4.35) можно переписать через давление и объёмный дебит

. (4.36)

Ортогональная сетка, изображающая фильтрационное поле бесконечной прямолинейной батареи, изображено на рис. 4.11.

Здесь, как и в кольцевой батарее, имеются главные и нейтральные линии тока, перпендикулярные цепочке. Нейтральными линиями тока вся плоскость течения делится на бесконечное число полос, каждая из которых является полосой влияния одной из скважин, находящейся в середине расстояния между двумя соседними нейтральными линиями. Главные линии тока проходят через центры скважин, параллельно нейтральным линиям.

Рис. 4.10. Фильтрационное поле при бесконечной цепочке скважин

Изобара, бесчисленное множество раз пересекающая сама себя, отделяет изобары внешнего течения ко всей батареи, охватывающих всю цепочку скважин, от изобар притока к скважине, охватывающих только данную скважину. Точки пересечения граничной изобары являются точками равновесия, и они делят интервал между двумя соседними скважинами пополам.

23. Данный метод называется методом Борисова и позволяет сложный фильтрационный поток в пласте при совместной работе нескольких батарей эксплуатационных и нагнетательных скважин разложить на простейшие потоки - к одиночно работающей скважине и к одиночно работающей батареи. Реализация данного метода достигается введением понятий внутреннего и внешнего фильтрационных сопротивлений, которые придают простейший физический смысл членам уравнений, используемых для подсчетов дебитов и значений потенциальных функций. Для выяснения этих понятий сравним формулы (4.35) или (4.36) с законом Ома I=U / R, где I - ток, U - разность потенциалов и R - сопротивление. Из сравнения видно, что фильтрационное сопротивление определяется величиной знаменателя правой части (4.35), который состоит из двух слагаемых. Если в (4.35) оставить только первое слагаемое, то оно будет выражать дебит в прямолинейно-параллельном потоке через площадь величиной nhs на длине L. Таким образом, первое слагаемое выражает фильтрационное сопротивление потоку от контура питания к участку прямолинейной бесконечной цепочки, занятому n скважинами, в предположении замены батареи галереей. Борисов назвал эту часть фильтрационного сопротивления - внешним фильтрационным сопротивлением