Уравнения потенциального движения для пористой среды

Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция

. (2.28)

Равенство (2.5) можно переписать в виде

(2.29)

или, учитывая закон Дарси,

. (2.30)

Здесь r`u – вектор массовой скорости фильтрации; gradj – градиент j, направленный в сторону быстрейшего возрастания j.

Уравнение (2.30) – это закон Дарси, записанный для потенциального течения.

Подставляя (2.30)в (2.4), получаем

, (2.31)

а для установившегося течения

. (2.32)

Уравнения (2.31) и (2.32) являются основными уравнениями потенциального фильтрационного течения и называются уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

,

где (a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты.

Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства:

· сумма частных решений является решением уравнения Лапласа;

· произведение частного решения на константу – также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции – сложения фильтрационных течений.