Ответ: в 1 час 12 минут пополудни.

Из спичек сложен бокал, внутри которого лежит оливка. Переместите две спички так, чтобы оливка оказалась вне бокала. Можно менять положение бокала в пространстве, но его форма должна оставаться неизменной.

№ 2.Какой цифрой оканчивается число 11¹¹+12¹²+13¹³

Решение: 11ⁿ оканчивается всегда единицей. 12ⁿ оканчивается 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, …, то есть через 4 цифры повторяются. Так как 12 = 4·3, то 12¹² оканчивается шестёркой. 13ⁿ оканчивается 3, 9, 7, 1, 3, …, то есть снова цифры повторяются с периодом 4. Так как 13 = 4·3 + 1, то 13¹³ оканчивается тройкой. Так как 1+ 6 + 3 = 10, то 11¹¹ + 12¹² + 13¹³ оканчивается цифрой 0.

Ответ: цифрой 0.

Из числа 123456789101112…9899100, образованного путем последовательного приписывания друг за другом всех чисел от 1 до 100, вычеркните 100 таких цифр, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Решение: Число будет наибольшим, если в старших разрядах будут стоять девятки. В связи с этим вычеркиваем первые восемь цифр, затем цифры чисел от 10 до 18 и единицу у 19 и так далее до цифры 4 у числа 49. Таким образом, было вычеркнуто 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 цифры. Осталось вычеркнуть еще 16 цифр, а именно цифры чисел 50, 51, 52, …, 56 (14 цифр) и дважды цифру 5 у чисел 57 и 58. Всего, таким образом, вычеркнули 100 цифр. Получили число: 9999978596061...9899100

Ответ: 9999978596061…9899100

В шесть часов утра в воскресенье гусеница начала вползать на дерево. В течение дня, т.е до 6 часов вечера, она поднималась на 5 метров, а в течение ночи спускалась на 2 метра. В какой день и час она поднимется на высоту 9 метров?

Решение: В конце вторых суток, то есть во вторник в шесть часов утра, гусеница будет на высоте 6 метров; но в этот же день, начиная с шести часов утра, она до шести часов вечера может подняться еще на 6 метров. Следовательно, на высоте 9 метров, как легко рассчитать, она окажется во вторник в 1 час 12 минут пополудни.

Ответ: в 1 час 12 минут пополудни.

В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50, по информатике – 48. Когда учеников спросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ «в двух» дали вдвое меньше человек, чем ответ «в одной», а ответ «в трех»- втрое меньше, чем ответ «в одной». Сколько всего учеников участвовали в этих олимпиадах?

Решение: Обозначим через х количество учеников, участвовавших ровно в одной олимпиаде. Тогда ровно в двух олимпиадах участвовали х/2 учеников, а в трех – х/3. Составим уравнение: 100 + 50 + 48 = х + 2·(х/2) + 3·(х/3). Решая его, получаем, что х = 198: 3, х = 66. В двух олимпиадах: 66: 2 = 33. В трех: 66: 3 = 22. Значит, всего в олимпиадах участвовал 66 + 33 + 22 = 121 ученик.