Серия 4. Числоцифровая

1. Найти сумму всех шестизначных чисел, составленных из цифр 1, 2 и 3.

2. Докажите, что – не квадрат

3. Докажите, что делится на .

4. Докажите, что число из 3ⁿ троек делится на 3ⁿ.

5. делится на 37. Докажите, что тоже делится на 37.

6.. Из числа вычитают его сумму цифр. Докажите, что после 100 таких операций из любого трехзначного числа получится ноль.

7. Сколько есть 2011-значных чисел, любая перестановка цифр которых делится на 7?

8. Что больше: сумма цифр всех 10-значных чисел или сумма цифр всех 11-значных чисел, делящихся на 5?

13. Число n записано 4 k единицами и k двойками. Доказать, что n+6– составное.

Домашние задачи (набрать 3 балла):

9. (1 балл). Цифры числа N переставили, отчего оно уменьшилось в 3 раза. Доказать, что N кратно 27.

10. (1 балл) x ²+1 – десятизначное число. Доказать, что в нем есть две одинаковые цифры.

11. (2 балла) Число N делится на 99. Доказать, что сумма цифр N не меньше 18.

12. (3 балла) В ряд выписали все числа от 19 до 80. Докажите, что полученное число делится на 1980.