Подмодуль 3. Модуль 1. Начертательная геометрия

Модуль 1. Начертательная геометрия

Кривые поверхности

Лекция 13

Взаимное пересечение поверхностей. Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей.

Содержание лекции.

Поверхности – посредники. Метод вспомогательных секущих плоскостей. Пересечение поверхности с плоскостью общего положения. Взаимное пересечение поверхностей. Особенности пересечения поверхностей второго порядка. Теорема Монжа.

13.1 Поверхности – посредники.

В задачах на построение линии пересечения заданных поверхностей пользуются вспомогательными поверхностями – посредниками, которые каждую из заданных поверхностей пересекают по какой-то линии. Пересечение этих линий, в свою очередь, дает нам точки, общие для обеих поверхностей, т.е. точки, принадлежащие линии пересечения этих поверхностей. Для упрощения задачи выбирают такие поверхности – посредники, которые пересекали бы заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям – прямым или окружностям.

Поэтому, в качестве вспомогательных поверхностей – посредников пользуются, либо вспомогательными секущими плоскостями, либо вспомогательными секущими сферами.

13.2 Метод вспомогательных секущих плоскостей.

Этот метод нам уже знаком. Мы использовали его при решении задачи на отыскание линии пересечения двух заданных плоскостей /см. лекцию №4/. Зная, что линией пересечения двух плоскостей является прямая линия, для ее отыскания нам было достаточно узнать положение двух ее точек. Пересекая заданные плоскости вспомогательной плоскостью-посредником, мы находили две прямые, по которым вспомогательная плоскость пересекала заданные плоскости. Точка пересечения этих прямых давала нам точку, принадлежащую одновременно двум заданным плоскостям, т.е. точку, принадлежащую их линии пересечения. Вторая вспомогательная секущая плоскость, таким же образом, давала вторую точку искомой прямой линии.

Аналогичная идея лежит в основе решения рассматриваемой задачи на отыскание линии пересечения двух кривых поверхностей. Пересекая обе поверхности плоскостью – посредником мы найдем линии пересечения этой плоскости с той и другой поверхностью. Поскольку эти линии лежат в одной плоскости, они будут пересекаться между собой, и точки их пересечения будут общими точками для обеих поверхностей, т.е. точками их линии пересечения.

Линией пересечения двух кривых поверхностей, в общем случае, является пространственная кривая. Для построения этой кривой потребуется уже не две, а значительно большее количество точек. Для отыскания этих точек необходимо будет провести не две, а несколько секущих плоскостей.

Выбор той или другой вспомогательной плоскости производится с таким расчетом, чтобы в пересечении ее с каждой из данных поверхностей получались простые и удобные для вычерчивания линии – прямые, либо окружности.

13.3 Пересечение поверхности с плоскостью общего положения.

В качестве примера рассмотрим задачу на построение линии пересечения поверхности вращения с плоскостью общего положения. Эта задача, по сравнению с задачей общего вида, будет более простой, т.е. одна из заданных поверхностей является простой – плоскостью.

Задача.

Построить линию пресечения поверхности вращения j с плоскостью общего положения a /рис. 13.1/.

рис. 13.1

Решение.

В данной задаче плоскостью-посредником, дающей наиболее простое решение, будет горизонтальная плоскость - l.

Она будет пересекать наши поверхности по простейшим линиям: поверхность j по окружности - m, а плоскость a - по прямой h /по горизонтали/.

В качестве первой такой плоскости возьмем плоскость проекций p₁, которая пересечет поверхность j по окружности основания m, а плоскость a - по ее горизонтальному следу a_p1 . Пересечение этих линий, лежащих в одной плоскости, даст нам искомые точки A и B – точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей. Прибегая к помощи других горизонтальных секущих плоскостей l₁, будем с их помощью таким же образом получать точки C и D, принадлежащие линии пересечения поверхностей.

h₁ || a_p1 Þ (h¢ ₁ || a_p1) _^ (h¢ ¢ ₁ || x).

Чтобы не загружать чертеж обилием линий, из этого семейства плоскостей, в качестве примера, возьмем только одну плоскость l₁, которая будет содержать на чертеже точки C и D. Эта плоскость пересечет поверхность j по окружности – m₁, а плоскость a - по прямой h₁. Пересечение этих линий дает нам искомые точки C и D. Для улучшения качества линии пересечения использовали еще два посредника l₂ и l₃, точки получены, но на чертеже буквами не обозначены. Для определения характерных точек F и E, рассечем наши поверхности фронтальной плоскостью d¢. Эта плоскость пересечет поверхность j по главному меридиану, а плоскость a - по фронтали f. Пересечение этих линий дает нам точку E.

Чтобы получить характерную точку F /верхнюю точку сечения/, преобразуем чертеж, используя метод перемены плоскостей проекций. Новая плоскость проекций p₂₁, по отношению к которой плоскость a будет проецирующей, занимает положение, в котором хотя бы одна прямая / h₃/ должна занимать проецирующее положение.

На плоскости проекций p₂₁ /в проецирующем положении виден ответ/ мы сразу видим верхнюю точку сечения F¢ ¢ ₁. Эта точка расположена на очерковой образующей, что позволяет ее найти на оси в плоскости p₁ системы p₂₁/p₁. Используя линии связи, находим проекции точки F¢ и F¢ ¢. На плоскости проекций p₂ находим линию пересечения двух поверхностей, кривая имеет видимый и невидимый участки, при этом смена видимости на невидимость всегда происходит на очерке, т.е. в точке E.

Примечание.

Данную задачу мы могли решить иным путем. Построив новую фронтальную плоскость проекций p₂₁, как показано на рис. 13.1, мы можем в системе плоскостей проекций p₂₁/p₁ решить задачу на пересечение поверхности с проецирующей плоскостью a. Эта задача более проста, чем задача на пересечение поверхности с плоскостью общего положения. Задачу на построение линии пересечения поверхности с проецирующей плоскостью мы подробно рассмотрели на лекции №11.

Решив эту задачу, т.е. найдя проекции линии пересечения в p₂₁ и p₁, мы получаем возможность перенести найденные точки, определяющие линию пересечения, на фронтальную плоскость проекций p₂.

13.4 Взаимное пересечение поверхностей.

Принцип решения подобных задач рассмотрим на примере решения следующей задачи.

Задача.

Построить линию пересечения конуса j со сферой d /см. рис.13.2/.

Решение.

При решении данной задачи, как и в предыдущей, целесообразно пользоваться горизонтальными секущими плоскостями – посредниками, т.к. такие плоскости будут обе заданные поверхности пересекать по простейшим линиям – окружностям. Эти окружности будут без искажения проецироваться на плоскость p₁.

Пересечем наши поверхности вспомогательной горизонтальной плоскостью l₁, проходящей через центр сферы. Эта плоскость пересечет сферу по экватору n¢ ¢ ₁, горизонтальная проекция которого на чертеже уже имеется, а конус эта плоскость пересечет по окружности m¢ ¢ ₁. Пересечение этих окружностей даст нам точки K₁ и K₁₁. Затем пресечем поверхности плоскостями l₂ и l₃, отстоящие от плоскости l₁ на одинаковом расстоянии. Эти плоскости пересекут сферу по окружностям одинакового диаметра n₂ и n₃ , горизонтальная проекция которого на чертеже уже имеется, а конус эта плоскость пересечет по окружности m₂ и m₃. Пересечение соответствующих окружностей, лежащих в одной и той же плоскости, даст нам, соответственно, точки K₂, K₂₁ и K₃, K₃₁.

Верхнюю и нижнюю точки линии пересечения мы получим с помощью с помощью фронтальной секущей плоскости l₄. Эта плоскость пересечет наши поверхности по главным меридианам и пересечение этих линий даст нам точки K₄ и K₄₁. Эти точки являются характерными. Если через эти точки провести горизонтальные плоскости – посредники, то линии пересечения m и n будут иметь одну общую точку K₄ или K_41.

рис.13.2

На плоскости проекций p₂ искомые точки дают линию пересечения двух поверхностей конуса j и сферы d. На плоскости проекций p₁ искомые точки не дают линию пересечения двух поверхностей конуса j и сферы d, т.к. из точек K₄ и K₄₁. идут одинаковой вогнутости участки искомой линии пересечения. Другими словами, построение линии пересечения, используя плоскости посредники для заключения в них направляющую поверхности вращения не дают результата. Потеряна еще одна характерная точка – точка перегиба для объединения участков одинаковой вогнутости искомой линии. Используя, полученную на плоскости проекций p₂ линию пересечения поверхностей, заметим, что если проводить плоскость – посредник через вершину конуса, то каждый посредник отметится двумя точками на образующей, которая пересекает искомую линию. Есть участки, где нет ни одной общей точки на образующей. Если проведем плоскость через вершину конуса касательную к искомой кривой, то мы найдем недостающую характерную точку. Построение дополнительно характерных точек N и N₁ , позволяет отыскать на плоскости проекций p₁ искомую линию пересечения двух поверхностей конуса j и сферы d. Видимые и невидимые участки меняют свою видимость на очерке.

13.5. Особенности пересечения поверхностей второго порядка.

Известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей. Поэтому две поверхности второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка. При определенных условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается кривая, равна порядку самой линии. В частности, кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямых или две кривых второго порядка.

Условия, при которых кривая четвертого порядка распадается на две кривые второго порядка, могут быть сформулированы следующими теоремами.

рис.13.3

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

В учебной литературе эта теорема известна, как «теорема Монжа».

Рис.13.3 дает представление о том, как можно определить линии пересечения поверхностей конуса a и цилиндра b, описанных около сферы g. Конус соприкасается со сферой по окружности, фронтальная проекция которой есть отрезок [1¢ ¢ 2¢ ¢ ], а с цилиндром b по окружности, проецирующейся в отрезок [3¢ ¢ 4¢ ¢ ]. Точки пересечения этих окружностей есть точки A и B.

По теореме, плоскости кривых должны проходить через прямую [ AB ], а т.к. эта прямая является фронтально – проецирующей, то плоскости кривых также будут фронтально – проецирующими. Одна кривая /эллипс/ будет проецироваться отрезком [ C ¢ ¢ D ¢ ¢ ], другая /также эллипс/ будет проецироваться отрезком [ E ¢ ¢ F ¢ ¢ ].

Материал лекции №13 изложен в учебнике С.А.Фролова – изд.1978г.

/на стр. 116 -118, 124 -127, 131-132, 145-147/.