![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задачи фильтрации и методы ее реализации
Сигнал, несущий полезное сообщение, принимаемый в аддитивной смеси со случайной помехой, сам является случайным сигналом. Отсюда возникает проблема оптимального выделения случайного сигнала на фоне случайной помехи. Эта проблема распадается на ряд частных задач в зависимости от требований приложений результатов обработки. Можно определить наиболее характерные задачи фильтрации. 1. В силу ограниченности времени наблюдения в процессе обработки принимаемого колебания (смеси) находится не сам полезный сигнал, а его оценка, при этом ставится задача нахождения формы полезного сигнала с минимальными искажениями полезного случайного сигнала s(t). Мерой качества фильтрации при этом может служить средний по множеству реализаций квадрат отклонения оценки сигнала
Критерием оптимальности отвечает минимизация оценки Относительно располагаемых реализаций случайного полезного сигнала можно различить два случая: а) наблюдения фиксированной длительности Т, когда обрабатываемое колебание задано (записано) на фиксированном отрезке [0, T], при этом возможно его многократное воспроизведение для обработки (встречается в условиях научного эксперимента, в разведке и т.д., б) текущее наблюдение, когда оценка полезного сигнала осуществляется в реальном текущем времени [0, t]. Кроме того, возможна в некоторых приложениях ситуация, когда отыскивается оценка на интервале времени, не совпадающем с интервалом наблюдения, т.е. при наблюдении процесса y(t) = s + n находится оценка 2. При необходимости определения только наличия или отсутствия сигнала наилучшим критерием оптимальности фильтрации, а значит и постановки задачи фильтрации, является отыскание максимального отношения сигнал/помеха. Эта задача имеет самое широкое применение в системах связи, передачи информации. При обсуждении вопросов фильтрации различают два ее вида: линейную и нелинейную фильтрацию. При линейной фильтрации сигналы претерпевают только линейные преобразования: усиление, суммирование, дифференцирование, интегрирование. Процессы в линейной фильтрации описываются линейными дифференциальными уравнениями, имеется линейная связь между изменениями входного и выходного сигналов и справедливость принципа суперпозиции. Эти свойства присущие только линейным цепям, упрощают как реализацию, так и математическое описание линейных фильтров, что привело к выделению их в самостоятельный класс фильтров, получивших широкое применение. Понятно, что, ограничиваясь применением только линейных фильтров, мы существенно снижаем свои возможности, т.к. в иных случаях нелинейная фильтрация может быть более оптимальной и дать лучший результат. При нелинейной фильтрации осуществляются нелинейные преобразования сигналов (перемножение, возведение в степень и др.). Выходной сигнал нелинейного фильтра, в общем случае, определяется нелинейным дифференциальным уравнением. Нелинейная обработка сигналов в ряде случаев позволяет получить более высокие показатели качества обработки, чем линейная, а иногда является единственно возможной формой обработки сигналов. Например, в случае, когда информационными параметрами являются фаза или частота сигнала, в силу нелинейной зависимости реализации сигнала от фильтруемого параметра может использоваться только нелинейная фильтрация. При этом оптимальными оказываются следящие фильтры (устройства фазовой или частотной автоподстройки частоты).
Литература: [1] стр. 208-209. [2] стр. 180. [3] стр. 174.
Контрольные вопросы: 1. В чем заключается задача фильтрации сигнала? 2. Какие задачи решают оптимальные фильтры? 3. Как определяется оптимальность фильтра? 4. В чем разница между линейной и нелинейной фильтрацией? 5.10.2. Оптимальная линейная фильтрация по критерию Комплексный спектр полезного сигнала
Обозначим передаточную функцию оптимального фильтра, обеспечивающего максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в некоторый момент времени t0
Значения отдельных спектральных составляющих полезного сигнала s(t) в момент t0:
Из физических соображений очевидно, что оптимальная фазочастотная характеристика фильтра φ ф(t) соответствует сведению к нулю в момент t0 фаз всех спектральных составляющих полезного сигнала на выходе фильтра. В этом случае обеспечивается максимальное значение выходного сигнала, поскольку все спектральные составляющие суммируются с одинаковой фазой, т.е. их амплитуды просто складываются.
для этого
Дисперсия шума не зависит от фазочастотной характеристики фильтра, т.к. определяется энергетическим спектром на выходе фильтра, который не зависит от фазы спектральных составляющих. Для определения амплитудно-частотной характеристики фильтра Вклад участка спектра сигнала df в величину Uвыхmax(t0) равен: и соответствующий вклад в выходную мощность полезного сигнала: dPsвых Выходная мощность шума, приходящаяся на участок спектра df: dPnвых Отношение отсюда
Опуская несущественный масштабный коэффициент k, получаем выражение для комплексной характеристики оптимального фильтра:
где S*(f) – комплексный сопряженный спектр сигнала. В случае, когда на выходе белый шум и
Таким образом, фильтр должен быть согласован (комплексно сопряжен) со спектром полезного сигнала (сомножитель Определим максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра Es – энергия полезного сигнала. или для прямоугольного импульса Es = A2 × τ u. Средняя мощность шума на выходе фильтра:
При оценке энергии шума в полосе от -∞ до +∞ спектральная плотность выражается Тогда отношение по мощности:
По напряжению отношения сигнал/шум будет:
Это результат для белого шума (5.28), если шум не белый, то:
Отсюда видно, что для обработки смеси необходимо небелый шум привести к белому, произвести " отбеливание" шума.
Рис. 5.8
Спектральный состав видеоимпульса:
Комплексно-сопряженный спектр S*(jω) получаем при замене знака перед j:
Определим частотную характеристику согласованного фильтра в соответствии с выражением (5.28):
Последний сомножитель определяет задержку t0, которая означает, что искомое максимальное отношение сигнал/шум наступает только в момент t0. Считая, что энергия сигнала существует во время от 0 до τ u (далее она равна нулю), принимаем величину задержки отсчета на выходе фильтра равной длительности импульса, т.е. t0 = τ u, тогда
Получена комплексная частотная характеристика, в которой А – амплитудное значение импульса; 1/jω – отражает частотную характеристику интеграла;
Структурная схема согласованного с видеоимпульсом фильтра будет:
Рис. 5.9
Рис. 5.10
При этом оказывается, что искаженная форма выходного сигнала имеет общую длительность в 2τ u, максимальное значение выходного сигнала достигается в точке t0 = τ u. В этот момент на выходе фильтра отношение сигнал/шум будет максимальным именно в этот момент времени следует произвести отсчет сигнала на выходе фильтра. Вместе с тем, спектральный состав видеоимпульса можно получить и в иной форме (см. лекцию 1): S(jω) = A sin(ω τ u/2). (5.34) Разделив комплексный спектр на амплитудно-частотный и фазово-частотный получим графики (рис. 5.11)
Рис. 5.11
Литература: [1] стр. 208-214. [2] стр. 180-186. [3] стр. 174-181.
Контрольные вопросы: 1. Почему согласованный фильтр называют оптимальным? 2. Почему оптимальный фильтр называют согласованным? 3. Какая форма сигнала на выходе согласованного фильтра? 4. Чему равно отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?
|