Логические функции

В современных устройствах обработки цифровой информации используются два класса переменных: числа и логические переменные.

Числа несут информацию о количественных характеристиках системы, над ними можно производить арифметические действия. Логические переменные определяют состояние системы. Логическая переменная может принимать одно из двух значений: истинно или ложно, для краткости их обозначают обычно символами 1 или 0, не вкладывая в них смысл количества.

Числа и логические переменные связаны друг с другом при решении задач управления и обработки информации. Например, при управлении лифтом, его можно привести в движении кнопкой вызова, если кабина пуста, если двери кабины и шахты закрыты, отсутствуют вызовы, поступившие с других этажей. Таким образом, многие задачи управления приводят к анализу логических условий и выдаче логических команд.

На первый взгляд цифровые устройства кажутся достаточно сложными. Однако они основаны на принципе многократного повторения относительно простых базовых логических схем. Связи между этими схемами строятся на основе чисто формальных методов. Инструментом такого построения служит булева алгебра, оперирующая логическими связями и зависимостями. Применительно к цифровой технике булева алгебра называется также алгеброй логики.

Существуют три основные операции между логическими переменными: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и инверсия (логическое отрицание).

По аналогии с алгеброй чисел в алгебре логики используются следующие обозначения операций.

Конъюнкция: y = x₁ ^ x₂ = x_{1 *} x₂ = x₁ x₂.

Дизъюнкция: y = x₁ v x₂ = x₁ + x₂.

Инверсия: y = .

Как можно представить логические функции с помощью электронных схем? Так как логические переменные могут иметь только два дискретных значения, то простейшим способом реализации логической переменной является ключ: разомкнутый ключ эквивалентен логическому нулю, а замкнутый – логической единице.

На рис. 1.4, а показана схема, реализующая функцию И двух переменных.

Рис. 1.4. Реализация функций: а) – И; б) –ИЛИ

Значение зависимой переменной Y характеризуется тем, будет ли замкнута или разомкнута составная коммутируемая цепь, расположенная между входными клеммами. Очевидно, что цепь будет замкнута только тогда, когда Х ₁ и Х ₂ замкнуты, т. е. равны единице. Таким образом, последовательное включение ключей реализует функцию И. Функция ИЛИ может быть получена, если ключи включить параллельно: рис. 1.4, б.

Основные логические функции реализуются с помощью соответствующих электронных схем. Эти схемы имеют один или несколько входов и один выход. Они называются логическими элементами (ЛЭ). Уровень выходного напряжения определяется уровнями напряжений на входах и характером логической функции.

В качестве примера рассмотрим схему ЛЭ И-НЕ, реализованную на много-эмиттерном транзисторе, рис. 1.5 (технология ТТЛ).

Рис. 1.5 Схема логического элемента И-НЕ

Для реализации одной и той же логической функции существует довольно большое число схем логических элементов, изготовленных по различным технологиям. Поэтому с целью упрощения документации были введены символы, которые обозначают лишь только логическую функцию и не раскрывают внутреннее строение схемы. В качестве примера на рис 1.6 приведено условное графическое изображение некоторых логических элементов

1 2 3 4 5 6

Рис. 1.6. Условное графическое изображение простейших ЛЭ:

1 – НЕ; 2 – ИЛИ; 3 – И; 4 – ИЛИ-НЕ; 5 – И-НЕ; 6 – исключающее ИЛИ