Дифференциальные уравнения теплообмена

В общем случае теплообмен определяется не только тепловыми, но и гидродинамическими явлениями. Поэтому математическое описание задач теплообмена включает в себя дифференциальные уравнения:

· энергии;

· теплоотдачи;

· движения;

· неразрывности,

а также условий однозначности, конкретизирующих ту или иную задачу.

Дифференциальное уравнение температурного поля движущейся жидкости – уравнение энергии (1.12) – приведено в разделе 1.

Уравнение теплоотдачи. При обтекании вязкой жидкостью твердой поверхности скорость жидкости на ней равна нулю. Это условие «прилипания» вязкой жидкости является следствием того, что между поверхностью твердого тела и жидкостью действуют силы молекулярного сцепления, в результате чего прилегающий к твердой стенке слой жидкости становится неподвижным и теплота через этой слой передается только теплопроводностью

.

С другой стороны, этот же тепловой поток определяется уравнением Ньютона-Рихмана

Приравняв правые части равенств, получим дифференциальное уравнение теплоотдачи

(6.1)

из которого следует, что для определения коэффициента теплоотдачи необходимо найти температурный градиент среды вблизи поверхности. Температурный градиент может быть найден из дифференциального уравнения энергии (1.12). В уравнение (1.12) входят составляющие скорости (w_x, w_y, w_z), которые требуют дифференциального уравнения, позволяющего найти поле скоростей, – уравнения движения.

Уравнение движения. В классической гидродинамике уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнение Навье – Стокса) для стационарного режима в проекции на ось ох имеет вид

(6.2)

где w_x – проекция вектора скорости на ось о х; g =9, 8 м/с²; - температурный коэффициент объемного расширения; r, кг/м³ – плотность;
р, Па – давление; v, м²/с – кинематическая вязкость.

Левая часть уравнения (6.2) характеризует инерционные силы потока жидкости, первое слагаемое правой части определяет подъемную силу, возникающую вследствие разности плотностей холодных и нагретых объемов жидкости, второе слагаемое – действие сил давления, третье – сил вязкого трения.

Аналогичные уравнения в проекции на оси о y, о z обозначим номерами (6.3), (6.4).

Анализ уравнений (1.12), (6.1) – (6.4) показывает, что для решения задачи конвективного теплообмена к перечисленным выше уравнениям необходимо добавить еще одно – уравнение неразрывности потока.

Уравнение неразрывности. Применение закона сохранения массы к элементарному объему несжимаемой жидкости дает дифференциальное уравнение неразрывности

.

(6.5)

Условия однозначности включают:

· геометрические условия (форму и размеры поверхности соприкосновения с жидкостью);

· физические условия (теплопроводность, вязкость и др. свойства жидкости);

· граничные условия (распределение скоростей и температур на границах рассматриваемой системы).

Для некоторых задач теплообмена могут быть получены и более сложные системы дифференциальных уравнений и условий однозначности.

Решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена возможно при введении упрощающих предположений для некоторых случаев теплоотдачи. Однако принятые допущения требуют сопоставления аналитических решений с результатами эксперимента.

В ряде случаев система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена решается численными методами с применением ЭВМ.

В большинстве же случаев единственным способом получения уравнения для расчета коэффициента теплоотдачи является физический эксперимент с обработкой данных на основе теории подобия физических явлений.