Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Получение передаточных функций элементов системы и построение их динамических характеристик
|
|
3.1 Построение передаточной функции инвертирующего усилителя и построение его динамических характеристик
На рисунке 2 представлена схема инвертирующего усилителя.
Рисунок 2 - Схема инвертирующего усилителя
Выберем для инвертирующего операционного усилителя с обратной связью усилитель типа К140УД8. Его технические характеристики приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Технические характеристики К140УД8
| Параметр | К140УД8 |
| Напряжение питания ± U п, В | ±15 ± 5% |
Разность входных токов Δ Iвх, нА, при 
| 
|
| Напряжение смещения нуля Uсм, мВ, при
| |
| Максимальная скорость нарастания выходного напряжения VU, В/мкс | 
|
| Коэффициент усиления напряжения KУ | 
|
| Частота единичного усиления f 1, МГц, при
| |
Коэффициент ослабления синфазного сигнала, дБ, при 
| 
|
Рассчитаем для данной схемы сопротивления резисторов входной цепи ОУ и обратной связи и выберем стандартные значения сопротивлений.
где K - коэффициент обратной связи
Т.к. 
то
Резистор 
служит формирователем увеличения операционного сопротивления, который зададим самостоятельно:
Выберем для расчетных значений резисторов стандартные значения по ГОСТ 2825—67.
выберем из ряда стандартных значений E24, 
- из ряда E192.
Для резисторов 
возьмем модель Р1-25. Значения номинального сопротивления резистора Р1-25 соответствуют ряду E24 по ГОСТ 2825—67.
Для резистора 
выберем модель С2-10, которая подходит для работы в электрических цепях импульсной аппаратуры и соответствует ряду E192.
Электрические параметры резисторов R1, R2, R3 представлены в таблице 2.
Таблица 2 – Электрические параметры резисторов для усилителя
| № | Параметр | R1 | R2 | R3 |
| Наименование | Резистор C2-10 | Резистор C2-10 | Резистор Р1-25 | |
| Номинальное сопротивление, кОм | 3, 92 | 9, 76 | ||
| Точность, % | ±0, 05 | ±0, 05 | ±0, 05 | |
| Номинальная мощность рассеяния, Вт | 0, 125 | 0, 125 | 0, 5 | |
| Максимальное рабочее напряжение, В | ||||
| Рабочая температура, С | -60…155 | -60…155 | -60…155 |
Передаточная функция для инвертирующего усилителя имеет следующий вид:
где 
постоянная времени операционного усилителя (ОУ), которая рассчитывается по формуле:
где 
частота единичного усиления ОУ
Подставив полученное значение в передаточную функцию (4), получим:
Передаточная функция инвертирующего ОУ имеет вид:
Заменим оператор Лапласа р на jω и получим:
Выделим действительную и мнимую части из алгебраической формы записи АФХ (амплитудно-фазовой характеристики):
где 
действительная часть
мнимая часть
j - мнимая единица
Найдем значение АЧХ и ФЧХ для данного усилителя:
АЧХ операционного усилителя представлена на рисунке 3.
Рисунок 3 - АЧХ инвертирующего усилителя на основе ОУ
Выразим ФЧХ (φ (ω)) инвертирующего усилителя:
На рисунке 4 представлена ФЧХ инвертирующего усилителя.
Рисунок 4 - ФЧХ инвертирующего усилителя на основе ОУ
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) определяется выражением:
ЛАЧХ инвертирующего усилителя представлена на рисунке 5.
Рисунок 5 - ЛАЧХ инвертирующего усилителя на основе ОУ
На рисунке 6 показана ЛФЧХ инвертирующего усилителя.
Рисунок 6 - ЛФЧХ инвертирующего усилителя
Построим амплитудно-фазовую характеристику инвертирующего усилителя. АФХ усилителя представлена на рисунке 7.
Рисунок 7 - АФХ инвертирующего усилителя
Зная АЧХ и ФЧХ усилителя, построим АФХ в полярных координатах (рисунок 8):
Рисунок 8 - АФХ инвертирующего усилителя в полярных координатах
3.2 Получение передаточной функции фильтра нижних частот и построение его динамических характеристик
На основании исходных данных выбирается фильтр нижних частот, обеспечивающий выполнение заданных требований (рисунок 9).
Рисунок 9 - Схема реализации ФНЧ 2 порядка Бесселя
Данной схеме соответствует следующая передаточная функция:
При реализации активного фильтра необходимо применять те типы ОУ, которые отвечают предъявленным требованиям по коэффициентам усиления и частотным диапазонам.
Нормирование значения коэффициентов b и c для фильтра Бесселя возьмем из таблицы.
Номинальное значение емкости С1 следует выбирать близким к значению 10/fc (мкФ).
Выберем С2 из следующего условия:
Рассчитаем номинальные значения сопротивлений R1 и R2 по следующей формуле:
Так как K> 1, рассчитаем R3 и R4 из следующих выражений:
Выберем для расчетных значений резисторов стандартные значения по ГОСТ 2825—67.
выберем из ряда стандартных значений E192.
Для резистора выберем модель С2-10, которая подходит для работы в электрических цепях импульсной аппаратуры и соответствует ряду E192.
Электрические параметры резисторов R1, R2, R3, R4 представлены в таблице 3.
Таблица 3 – Электрические параметры резисторов для ФНЧ
| № | Параметр | R1 | R2 | R3 | R4 |
| Наименование | Резистор C2-10 | Резистор C2-10 | Резистор C2-10 | Резистор C2-10 | |
| Номинальное сопротивление, кОм | 7, 32 | 7, 15 | 29, 1 | 29, 1 | |
| Точность, % | ±0, 05 | ±0, 05 | ±0, 05 | ±0, 05 | |
| Номинальная мощность рассеяния, Вт | 0, 125 | 0, 125 | 0, 125 | 0, 125 | |
| Максимальное рабочее напряжение, В | |||||
| Рабочая температура, С | -60…155 | -60…155 | -60…155 | -60…155 |
Конденсатор C1; C2 выберем из ряда E192 модели К53-52.
Электрические параметры конденсаторов представлены в таблице 4.
Таблица 4 – Электрические параметры конденсаторов ФНЧ
| № | Параметр | С1 | С2 |
| Наименование | К53-52 | К53-52 | |
| Номинальная емкость, мкФ | 5, 05 | 8, 06 | |
| Допуск номинала, % | |||
| Рабочее напряжение, В | 6, 3-25 | 6, 3-25 | |
| Рабочая температура, С | -55..125 | -55..125 |
Подставим в формулу (8) значенияR1, R2, R3, R4, C1, C2. Проведя необходимые преобразования, получим следующее выражение (13):
Осуществим переход от оператора Лапласа 
к 
:
Выделим мнимую (Q(ω)) и действительную (P(ω)) части из 
:
Найдём АЧХ фильтра:
Подставив мнимую и действительную части в формулу (14), получим следующее выражение:
АЧХ ФНЧ Бесселя представлена на рисунке 10.
Рисунок 10 - АЧХ ФНЧ Бесселя
Выразим ФЧХ ФНЧ Бесселя из следующей формулы:
ФЧХ ФНЧ Бесселя изображена на рисунке 11.
Рисунок 11 - ФЧХ ФНЧ Бесселя
Найдем ЛАЧХ (L(ω)) фильтра:
ЛАЧХ и ЛФЧХ ФНЧ Бесселя показаны на рисунке 12 и 13 соответственно.
Рисунок 12 - ЛАЧХ ФНЧ Бесселя
Рисунок 13 - ЛФЧХ ФНЧ Бесселя
Построим АФХ фильтра нижних частот и изобразим его на рисунке 14 и в полярных координатах на рисунке 15.
Рисунок 14 - АФХ ФНЧ Бесселя
Рисунок 15 - АФХ ФНЧ Бесселя в полярных координатах
3.3 Получение передаточной функции типового звена и построение его динамических характеристик
Схема типового звена, представленного в задании, изображена на рисунке 16.
Рисунок 16 - Схема типового звена
По заданию 
. Рассчитаем номиналы резисторов и конденсаторов, входящих в схему. Воспользуемся формулами:
Пусть R2 = 9, 75 кОм (резисторы модели C2-10 ряд Е192). Тогда выразим R1 из выражения (18):
Из выражения (17) найдем 
:
Из формулы (15) выразим R3:
Возьмем резисторы R1; R2; R3 из ряда E192 типа C2-10, а конденсатор C1; C2 выберем из ряда E96 модели К53-52.
Электрические параметры рассчитанных резисторов и конденсаторов представлены в таблицах 5 и 6.
Таблица 5 - Электрические параметры рассчитанных резисторов
| № | Параметр | R1 | R2 | R3 |
| Наименование | Резистор C2-10 | Резистор C2-10 | Резистор C2-10 | |
| Номинальное сопротивление, кОм | 4, 87 | 9, 76 | 1, 17 | |
| Точность, % | ±0, 05 | ±0, 05 | ±0, 05 | |
| Номинальная мощность рассеяния, Вт | 0, 125 | 0, 125 | 0, 125 | |
| Максимальное рабочее напряжение, В | ||||
| Рабочая температура, С | -60…155 | -60…155 | -60…155 |
Таблица 6 – Электрические параметры конденсаторов типового звена
| № | Параметр | С1 | С2 |
| Наименование | К53-52 | К53-52 | |
| Номинальная емкость, мкФ | |||
| Допуск номинала, % | |||
| Рабочее напряжение, В | 6, 3-25 | 6, 3-25 | |
| Рабочая температура, С | -55..125 | -55..125 |
Реализуемое типовым звеном дифференциальное уравнение имеет вид:
где 
и 
– выходное и входное напряжения типового звена соответственно.
Осуществим переход к операторной форме записи:
Подставим номиналы элементов, входящих в схему и получим передаточную функцию типового звена:
Осуществим переход от оператора Лапласа к :
Для нахождения необходимых частных динамических характеристик типового звена выделим мнимую и действительную части из 
Отсюда действительная и мнимая части типового звена соответственно:
По формуле (14) построим АЧХ типового звена и изобразим ее на рисунке 17:
Рисунок 17 - АЧХ типового звена
Выразим ФЧХ (φ (ω)) типового звена по формуле:
На рисунке 18 представлена ФЧХ типового звена.
Рисунок 18 - ФЧХ типового звена
Найдем ЛАЧХ (L(ω)) типового звена:
На рисунке 19 и 20 изображены ЛАЧХ и ЛФЧХ типового звена.
Рисунок 19 - ЛАЧХ типового звена
Рисунок 20 - ЛФЧХ типового звена
Построим АФХ типового звена:
Рисунок 21 - АФХ типового звена
Зная АЧХ и ФЧХ типового звена, построим АФХ в полярных координатах (рисунок 22):
Рисунок 22 - АФХ типового звена в полярных координатах
4 Получение общей передаточной функции системы
4.1 Получение передаточной функции разомкнутой системы
Произведем преобразование схемы 1 и 2 звена на рисунке 1 в соответствии с рисунком 23 и получим схему на рисунке 24:
Рисунок 23 - Последовательное преобразование 1 и 2 звена.
Рисунок 24 - Преобразованная схема
Произведем следующее преобразование в соответствии с рисунком 25 и получим передаточную функцию (23) в соответствии с рисунком 26:
Рисунок 25 - Схема преобразования последовательных звеньев
Рисунок 26 - Преобразованная схема
Передаточную функцию разомкнутой системы можно получить из выражений (5), (13) и (21) следующим образом:
4.2 Получение передаточной функции по управлению
Произведем преобразование структурной схемы системы и представим полученную схему на рисунке 25:
Рисунок 25 - Структурная схема системы после второго преобразования
Передаточная функция замкнутой системы по управлению имеет вид:
Подставив выражение (24) в (25) получим выражение:
4.3 Получение передаточной функции замкнутой системы по возмущению
Передаточная функция замкнутой системы по возмущению имеет вид:
Подставив выражения (21), (24) в (25) получим следующее выражение:
4.4 Получение передаточной функции замкнутой системы по ошибке
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид:
Подставив выражение (24) в (27) получим выражение (28):
5 Получение выходного сигнала системы
Переход от оригинала входного сигнала к его изображению можно осуществить, применив прямое преобразование Лапласа:
Используя систему компьютерной алгебры Mathcad применительно к выражению (29), получим выражение для x(p):
Изображение выходного сигнала имеет вид:
Используя систему компьютерной алгебры Mathcad применительно к выражению (30), получим выражение для y(p):
Графики входного и выходного сигналов представлены на рисунках 25 и 26:
Рисунок 25 – График входного сигнала
Рисунок 26 – График выходного сигнала
6 Построение динамических характеристик исследуемой системы
Заменой оператора Лапласа p на jω для формулы (26) проведем переход к аналитическому выражению АФХ всей системы:
Умножим на сопряженный знаменатель и получим следующее выражение:
Отсюда действительная и мнимая части АФХ соответственно:
Построим графики АФХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для системы:
ФЧХ для системы:
Рисунок 27 – АЧХ системы
Построим ФЧХ системы:
Рисунок 28 – ФЧХ системы
Построим АФХ системы:
Рисунок 29 – АФХ системы
Зная АЧХ и ФЧХ системы, построим АФХ в полярных координатах
Рисунок 30 – АФХ системы в полярных координатах
Построим график ЛАЧХ системы:
Рисунок 31 – ЛАЧХ системы
Построим график ЛФЧХ системы.
Рисунок 32 – ЛФЧХ системы
Вывод: в ходе проведения работы были рассчитаны составные элементы системы, получены их передаточные функции и системы в целом. Построены динамические характеристики последовательно соединенных элементов системы, с помощью которых был проведен анализ всей системы, а также построены её динамические характеристики.
Список использованных источников
1 Бондарева, Л.А. Методические указания по выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Проектирование автоматизированных контролирующих систем» / Л.А.Бондарева. – Орел: ОрелГТУ, 2007. – 55 с.
2 Справочник по электрическим конденсаторам / М.Н. Дьяконов, В.И. Карабанов, В.И. Присняков и др.; Под общ.ред. И.И. Четверткова и В.Ф. Смирнова. – М.: Радио и связь, 1983. – 576 с.: ил.
3 Джонсон Д. Справочник по активным фильтрам / Д. Джонсон, Дж. Джонсон, Г. Мур.–М.: Энергоатомиздат, 1983.–128с.: ил.
4 Гутников, В. С. Интегральная электроника в измерительных устройствах/ В.С. Гутников. — Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1988. – 304 с: ил.