Области определения и способы оценки достоверности коэффициентов связи случайных величин

Коэффициент ковариации (2.1) имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин, и может изменяться от от +∞ до -∞. Безразмерный коэффициент корреляции (2.2) - (2.4), колеблющийся в пределах от -1 до +1, является более наглядной и чаще используемой характеристикой «тесноты» связи: чем выше , тем «теснее» статистическая связь. При коэффициенте корреляции, равном ±1, статистическая связь «переходит» в точную функци­ональную зависимость между переменными.

Коэффициент детерминации, как следует из определения, изменяется от 0 до +1.

Степень «тесноты» связи случайных величин оценивают по так называемой шкале Чеддока (табл. 2.2).

Таблица 2.2. Шкала Чеддока

Шкала Чеддока применима лишь для быстрой ориентировочной оценки «тесноты» связи. Чем выше |r_ху| по шкале Чеддока, чем «теснее» связь, тем более достоверно её существование. Но всё же шкала не даёт однозначного ответа о наличии связи, т.е. о значимости коэффициента корреляции, особенно если он занимает некое промежуточное положение, например в пределах |r_ху| = 0, 3 - 0, 7. Это объясняется тем, что кроме величины |r_ху| значимость коэффициента корреляции определяется ещё двумя важными факторами:

- числом точек n (или числом «степеней свободы») - чем больше число точек, тем точнее (и достовернее) определяется r_ху;

- принятым в отрасли «доверительной вероятности» (чаще всего берётся g = 95 %, что соответствует «уровню значимости» α = 0, 05).

Между тем правильное определение достоверности связи случайных величин имеет для статистического анализа кардинальное значение. Поэтому разработано множество способов и критериев проверки значимости коэффициента корреляции. Приведём три таких критерия, потому что они дополняют друг - друга по n, α и используемым вспомогательным средствам.

1. При помощи критерия Стьюдента. Наблюдаемое значение кри­терия определяется по формуле

(2.5)

Критическое («табличное») значение (t_кр) определяется по справочнику из таблицы t-распределения для принятого значения довери­тельной вероятности α и числа степеней свободы f = n - 2. (Для той же цели можно использовать статистическую функцию СТЬЮДРАСПОБР MS EXCEL.)

Если |t_набл| < t_кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о том, что r = 0, т.е. о том, что связь величин не обнаружена. В противном случае (|t_набл| > t_кр)нулевая гипотеза от­вергается, т.е. можно считать, что для принятой довери­тельной вероятности связь величин установлена.

2. По ошибке коэффициента корреляции. (Способ ориентирован на обычно принимаемую довери­тельную вероятность α = 0, 05.) Ошибку S_r оценивают по формуле

(2.6)

Далее определяется критерий существенности t_r:

(2.7)

Если величина t_r > 3, то коэффициент корреляции считается верным, т.е. связь между двумя случайными величинами является доказанной. И наоборот, если t_r < 3, то полагают, что досто­верная связь не установлена.

3. Табличный метод. Наиболее простой в использовании. Рекомендуем его, как наиболее простой не требующий каких-либо вычислений, в случаях, когда рассматриваемые n и α соответствуют приведённым в таблице. Если r > r_кр (табл.), делается вывод о существенности связи случайных величин с определённой доверительной вероятностью.

Таблица 2.3 Критические значения выборочного коэффициента корреляции r_кр