![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методика построения логарифмических частотных характеристик САУ 1 страница
Пусть передаточная функция разомкнутой статической САУ, состоящей из минимально-фазовых звеньев 1-го порядка, имеет вид
Отобразим W(р) в область преобразований Фурье; преобразуем математическое описание каждого элементарного звена к форме
Тогда
Алгоритм построения ЛАЧХ: 1. На оси w нанесите точки wi=1/Ti. Проведите через эти точки вертикальные штриховые линии. 2. Проведите контурную линию с ординатой 20lgk слева до первой вертикальной линии при отсутствии нулевых полюсов и нулей в передаточной функции или линию с наклоном -20дБ/дек через точку 3. До следующей вертикальной линии проведите контурную линию с наклоном -20*u дБ/дек (u – количество элементарных звеньев с одинаковыми Ti), если звенья апериодические, или +20*u дБ/дек для дифференцирующих звеньев первого порядка. 4. Уменьшите (увеличьте) наклон на -20*u дБ/дек (+20*u дБ/дек) на следующей вертикальной линии до полного построения L(w). Высокочастотные асимптоты ЛАЧХ (справа от наибольшей сопрягающей частоты) проводят в требуемом диапазоне частот.
Примечания: 1. Для построения ЛАЧХ звена второго порядка используются приведенные характеристики в технической литературе или строятся по точкам вблизи wi=1/Ti, вдали с асимптотами: левой 0 дБ/дек, правой -40 дБ/дек для колебательного звена и +40 дБ/дек для звена дифференцирующего второго порядка. 2. Правило построения ЛЧХ систем с неминимально-фазовыми звеньями остаётся тем же. 3. ЛФЧХ строятся по точкам, рассчитанным аналитически.
Пример
Пусть задана передаточная функция объекта
Требуется построить асимптотическую ЛАЧХ объекта.
1. Выделение элементарных звеньев. Вынесем множитель из каждой скобки так, чтобы свободный член в этой скобке был равен 1:
Корни квадратного трёхчлена в знаменателе комплексно-сопряжённые, поэтому можно представить заданную передаточную функцию в виде произведения передаточного коэффициента и четырёх передаточных функций элементарных звеньев:
Звенья с передаточными функциями
2. Определение сопрягающих частот. Сопрягающие частоты – это точки излома ЛАЧХ. Они определяются как
Поскольку при построении ЛАЧХ на оси абсцисс откладывается lgω, вычислим десятичные логарифмы этих частот:
3. Построение ЛАЧХ. Отметим найденные точки излома ЛАЧХ на оси абсцисс:
Поскольку интегрирующие и дифференцирующие звенья в системе отсутствуют, на низких частотах (примерно до первой сопрягающей частоты 20lgk=20lg10=20 и можно сразу нарисовать начальный участок ЛАЧХ:
На частоте
На частоте На частоте Наконец, на частоте
Приложение 3
Пример рекомендуемой последовательности действий при анализе устойчивости системы
Пусть задана структурная схема (рис. 5) и параметры исследуемой системы.
Рис. 5. Структурная схема исследуемой системы
Алгоритм исследования устойчивости замкнутой САУ:
· определяем передаточную функцию замкнутой системы
· записываем характеристическое уравнение замкнутой системы: (Т1р+1)(Т2р+1)(Т3р+1)+k1k2k3=0; после преобразования этого выражения получим: Т1Т2Т3р3+(Т1Т2+Т1Т3+Т2Т3)р2+(Т1+Т2+Т3)р+(1+k1k2k3)=0; обозначим: а0=T1T2T3; a1=Т1Т2+Т1Т3+Т2Т3; а2=Т1+Т2+Т3; а3=1+k1k2k3; тогда выражение примет стандартную форму: а0р3+а1р2+а2р+а3=0;
· условия устойчивости замкнутой системы 3-го порядка: 1) а0> 0, a1> 0, a2> 0, a3> 0 (условие Рауса); 2) a1a2> a0a3 (условие Гурвица); если условия устойчивости имеют место, то система устойчива;
· система на границе устойчивости, если выполняется равенство в условии Гурвица, отсюда определяется критическая величина передаточного коэффициента разомкнутой системы:
· заключение об устойчивости системы.
Приложение 4
Методы настройки параметров ПИД – регулятора
ПИД – регулятор был изобретён в 1910 году. Долгое время настройка параметров регулятора осуществлялась эвристическим ручным методом, основанным на интуиции и изобретательстве инженеров. В 1942 году американские учёные J.G. Ziegler и N.B. Nichols (США, г. Рочестер, штат Нью-Йорк) при исследовании систем с ПИД – регуляторами обнаружили две закономерности: · Оптимальная зона пропорциональности П – регулятора в два раза меньше величины зоны пропорциональности, при которой в САУ начинается автоколебательный процесс; · Время изодрома Ti и время предварения Td зависят от периода возникающих автоколебаний. В качестве критерия оптимальности принята величина декремента затухания D = 0, 2-0, 3. Декремент затухания D выражается через отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга на половину периода,
Зиглер и Никольс предложили два метода настройки ПИД – регулятора: первый основан на параметрах переходной характеристики, второй на частотных характеристиках объекта управления. Точность настройки параметров регулятора и недостатки обоих методов Зиглера – Никольса одинаковы.
1. Настройка параметров ПИД – регулятора по временному модифицированному методу Зиглера – Никольса.
Пусть известно математическое описание объекта второго порядка в форме передаточной функции
Требуется найти параметры ПИД - регулятора по параметрам переходной характеристики объекта.
Алгоритм расчёта:
1. Определяем переходную характеристику объекта и её производную, используя модель объекта в Simulink:
2. По максимальному значению производной находим точку перегиба переходной характеристики и проводим через неё касательную к переходной характеристике путём смещения характеристики интегрирующего звена ki/p изменением параметра a с помощью модели в Simulink (рис. 2), где ki = max[dh(t)/dt].
3. Определяем численные значения параметров a и L по графику переходной характеристики и касательной к ней в точке перегиба.
4. Определяем параметры ПИД – регулятора по формулам таблицы 1 [ ].
Таблица 1. Формулы для расчёта параметров ПИД – регулятора по временному методу Зиглера - Никольса
Примечание: система обозначений параметров регулятора соответствует уравнению
5. Строим модель системы с ПИД – регулятором в Simulink и проводим исследование САУ.
Пример 1 Передаточная функция объекта имеет вид Определить настройки параметров ПИД-регулятора по параметрам отклика объекта на единичный скачок.
1. Составляем модель исследования разомкнутой исходной системы в Simulink (рис. 1). В состав алгоритмической структуры входит модель объекта, модуль формирования производной переходной характеристики, интегратор с передаточным коэффициентом, равным величине экстремума импульсной переходной характеристики и модуль сдвига переходной характеристики идеального интегрирующего звена так, чтобы она проходила через точку перегиба переходной характеристики объекта.
Рис. 1. Алгоритмическая структура для исследования разомкнутой исходной системы в Simulink
2. По отклику модели определяем базовые расчётные параметры: a = 0, 145 - величина смещения переходной характеристики интегрирующего звена в точку перегиба переходной характеристики объекта (точку перегиба переходная характеристика объекта и максимум производная этой характеристики h’max = 3, 704 проходят в один и тот же момент tэкстр. = 0, 1205), L = 0, 04- величина отрезка на оси времени, отсекаемого касательной к переходной характеристике в точке перегиба. Графики исследуемой модели приведены на рис.2.
3. Составляем скрипт в Matlab для расчёта параметров ПИД – регулятора: a=0.145; L=0.04; k=1.2/a Ti=2*L/k Td=0.5*L*k ki=1/Ti kd=Td
и определяем настройки регулятора: k = 8.2759, Ti = 0.0097c, Td =0.1655c, ki = 103.4483c-1, kd =0.1655c.
Рис. 2. Графики исследуемой модели разомкнутой исходной системы: 1 - переходная характеристика объекта, 2 – производная переходной характеристики объекта, 3 - переходная характеристика интегрирующего звена, передаточный коэффициент которого равен максимуму производной переходной характеристики объекта (kи = 3, 704), 4 - смещённая в точку перегиба переходной характеристики объекта переходная характеристика интегрирующего звена
4. Строим модель для исследования системы в Simulink (рис. 3). На рис. 3 изображены (сверху – вниз) модели исследуемой системы с настройками регулятора по методу Зиглера – Никольса, системы с ручной настройкой параметров регулятора, объекта и модель формирования касательной в точке перегиба переходной характеристики объекта.
Рис. 3. Алгоритмическая структура для исследования скорректированной системы в Simulink
5. Снимаем переходные характеристики модели, изображенной на рис. 3, где обозначены: 1 – переходная характеристика объекта, 2 – касательная к переходной характеристике объекта в точке перегиба, 3 – переходная характеристика системы при настройке регулятора по методу Зиглера – Никольса, 4 - переходная характеристика системы при ручной настройке регулятора (k = 15, Ti = 0, 013c, Td = 0, 525c)
Рис. 4. Графики переходных характеристик модели, изображенной на рис. 3
2. Настройка параметров ПИД – регулятора по частотному методу Зиглера – Никольса.
Пусть известно математическое описание объекта управления в форме передаточной функции
Требуется найти параметры ПИД - регулятора по частотному методу Зиглера – Никольса.
Алгоритм расчёта:
1. Определяем по АФХ и ЛЧХ объекта частоту объекта равен -180о.
2. Определяем передаточный коэффициент объекта
3. Определяем период колебаний
4. По табл. 2 Зиглера – Никольса определяем параметры ПИД – регулятора, используя полученные данные
Таблица 2. Формулы для расчёта параметров ПИД – регулятора по частотному методу Зиглера - Никольса
Примечание: система обозначений параметров регулятора соответствует уравнению
5. Составляем в Matlab модели замкнутых исходной и с ПИД – регулятором систем для построения переходных характеристик, по которым оцениваем устойчивость и показатели качества.
Пример 2
Передаточная функция объекта имеет вид Определить настройки параметров ПИД-регулятора по частотным параметрам объекта управления.
1. Составляем модель в форме скрипта Matlab для определения АФХ и ЛЧХ объекта по его передаточной функции.
numo=[1]; deno=[10 11 1]; Wo=tf(numo, deno) [nums, dens]=pade(0.3, 2) Ws=tf(nums, dens) Wir=Wo*Ws nyquist(Wir) %margin(Wir)
2. Определяем АФХ объекта и находим параметры
3. Определяем ЛЧХ объекта и находим параметры Параметры объекта, найденные по ЛЧХ, точнее параметров АФХ, поэтому принимаем их за основу.
4. Составляем скрипт для определения параметров ПИД – регулятора по полученным параметрам ЛЧХ:
k180=0.026; w180=1.84; T180=2*pi/w180 kn=0.6/k180 Tu=0.5*T180/kn ku=1/Tu Td=0.125*T180*kn kd=Td
Расчётные параметры ПИД – регулятора: kn = 23.0769, ku = 13.5159, kd = 9.8503.
5. Составляем скрипт для определения переходных характеристик исходной и скорректированной замкнутых систем.
kp=23.0769; ki=13.5159; kd=9.8503; numo=[1]; deno=[10 11 1]; Wo=tf(numo, deno) [nums, dens]=pade(0.3, 2) Ws=tf(nums, dens) numi=[ki]; deni=[1 0]; Wi=tf(numi, deni) numd=[kd 0]; dend=[1]; Wd=tf(numd, dend) Wsr=minreal(Wo*Ws/(1+Wo*Ws)) step(Wsr) %Wsrpid=minreal((kp+Wi+Wd)*Wo*Ws/(1+(kp+Wi+Wd)*Wo*Ws)) %step(Wsrpid)
6. Определяем переходную характеристику исходной (нескорректированной) системы, произведя «Пуск» скрипта п.5 в Matlab.
7. Определяем переходную характеристику скорректированной системы, сняв знак % в последних двух строках скрипта и установив % в двух предыдущих строках.
Показатели качества систем приведены на графиках.
3. Настройка параметров ПИД – регулятора по методу CHR (Chien – Hrones – Reswick).
Авторы этого метода использовали критерий максимальной скорости нарастания при отсутствии перерегулирования или при наличии не более чем 20% - ного перерегулирования. Такой критерий позволяет получить больший запас устойчивости, чем в методе Зиглера – Никольса. Метод CHR (Чин – Хронес – Ресвик) даёт две разные системы параметров регулятора. Одна из них получена при наблюдении отклика на изменение уставки, решая задачу качества регулирования, вторая – при наблюдении отклика на внешние возмущения, решая задачу ослабления внешних возмущений. Если важно и то и другое, то необходимо использовать регуляторы с двумя степенями свободы. В этом методе объект аппроксимирован моделью первого порядка с задержкой:
Для расчёта параметров регулятора используются параметры переходной характеристики объекта: Параметр
или из графика переходной характеристики объекта.
Формулы для расчёта параметров регулятора приведены в таблицах 3 и 4.
Таблица 3 Формулы для расчёта коэффициентов регулятора по отклику на изменение уставки метода CHR
Таблица 4 Формулы для расчёта коэффициентов регулятора по отклику на внешние воздействия метода CHR
|