Обратное преобразование Фурье аналогового сигнала определяется соотношением

Подставив (6.2) в (6.1), получим

(4.2)

Зададимся шагом W изменения частоты w = k W, где k - целое число

Учитывая, что T_Д = T_c / N, получим W T_Д = 2 p F T_c / N.

Примем F T_c = 1.

Введем обозначение:

Тогда

(4.3)

Докажем, что функция является периодической по k с периодом, равным N.

Действительно,

Поэтому и S_k представляет собой периодическую функцию с периодом N. Следовательно, k = 0, 1, 2,.. N-1.

4.2. Обратное дискретное преобразование Фурье

Обратное преобразование Фурье аналогового сигнала определяется соотношением

(4.4)

Выражение для обратного преобразования (4.4) отличается от выражения для прямого преобразования (4.1) знаком в показателе экспоненты и постоянным сомножителем перед знаком интеграла.

По аналогии с (4.4) и (4.1), учитывая (4.3), запишем выражение для обратного ДПФ

(4.5)

где а – неизвестная константа.

Для определения константы a подставим (4.3) в (4.5), предварительно заменив в (4.3) индекс суммирования n на m

При m = n имеем

При m ¹ n рассматриваемая сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице, последний , а знаменатель -

Поэтому при m ¹ n

В результате получим , следовательно, .

Таким образом, (4.6)

Из (4.3) и (4.6) следует, что для определения всех N отсчетов спектра по (4.3) или N отсчетов временной функции по (4.6) требуется выполнить комплексных умножений

и столько же комплексных сложений. При N больше 1000 это прямое вычисление требует больших затрат машинного времени. Поэтому возникла необходимость в разработке алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), позволяющих уменьшить число арифметических операций.

4.3. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием во времени

Рассмотрим последовательность x_n, содержащую отсчетов, где M - целое число, Разобьем члены этой последовательности на две группы.

Индексы членов последовательностей x_n и x1_m связаны соотношением n = 2m, а индексы членов последовательностей x_n и x2_m - соотношением n = 2m + 1.

Тогда выражение для прямого ДПФ можно представить в виде

Учитывая, что

,

получим