Законы де Моргана.

Эти законы позволяют выразить законы объединения и пересечения друг через друга с использованием операции дополнения:

а) АÈ В= Ç

Доказательство:

Обозначим через М: М=АÈ В и = Ç . Если теперь объединение М и даст единичное множество, то закон будет доказан.

М È = А È В È Ç = АÈ (В È )Ç (В È ). Используя определение дополнения получим:

М È = АÈ ВÈ =1È В=1=I

б) АÇ В= È

Доказательство:

Обозначим через М: М=АÇ В и = È . Если теперь объединение М и даст единичное множество, то закон будет доказан.

М È = А Ç В È Ç =( È А) Ç (В È )È = ВÈ È =1È =1=I

Законы де Моргана так же являются двойственными.

АÇ В=АВ.

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ.

1. АÌ А

2. Если АÌ В и ВÌ А, то А=В

3. Если АÌ В и ВÌ С, то АÌ С

4. Æ Ì A

5. А Ì I

6. А È В =В È А

7. А Ç В =В Ç А

8. АÈ (ВÈ С)=(АÈ В)È С

9. АÇ (ВÇ С)=(АÇ В)Ç С

10. А È А = А

11. А Ç (ВÈ С)=(АÇ В)È (АÇ С)

12. А È (ВÇ С)=(АÈ В) Ç (АÈ С)

13. А È Æ = А

14. А È I= I

15. А Ç I = A

16. А Ç A = A

17. А Ç Æ = Æ

18. Если АÌ В, то АÈ В=В, АÇ В=А

19. А È = I

20. A Ç = Æ

21. =I

22. =Æ

23. = A

24. Если АÌ В, то Ì

25. () = Ç

26. () = È