Процессы размножения и гибели

Рассмотрим Марковский процесс, описывающий систему с графом состояний следующего вида:

Рисунок 4. Процесс размножения и гибели

Здесь число состояний может быть как конечным, так и счетным. Эти процессы получили название «процессов гибели и размножения». В случае конечного числа состояний стационарные или предельные вероятности существуют при любых значениях параметров m_i и l_j. В случае счетного числа состояний, для существования этих вероятностей необходимо и достаточно выполнение следующего условия:

ряд сходится.

Для такого процесса предельные вероятности, в случае, когда они существуют, могут быть найдены по формулам

(2.14)

Пример 10. В комнате учреждения работают три сотрудника, каждый из них пользуется телефоном в среднем 1 раз в час, а средняя продолжительность одного разговора – 6 минут. Считая, что время разговора – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению, а поток звонков простейший, определить долю времени, в течение которого занят телефон.

Решение. Задано мат. ожидание с.в. x: Мx=1× 1=1. Т.к. происходит слияние трёх простейших потоков, суммарная интенсивность пользования телефоном равна l=3× 1=3. Так же задано мат. ожидание с.в. h: Мh=1/m=1/0, 1=10 (единицы измерения должны быть одинаковые, поэтому перевели 6 минут в часы). Граф такой системы изображён на рисунке 5, это система размножения – гибели. Найти надо .

Рисунок 5.

Т.к. число состояний конечно, предельные вероятности существуют. Найдём их по формулам (2.14):