Момент импульса

Пусть материальная точка массой движется со скоростью относительно точки О, а радиус-вектор этой материальной точки, проведённый из точки О (рис. 3.9).

Определение. Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на вектор импульса :

Направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , в соответствии с правилом правого винта, например момент импульса электрона, двигающегося по круговой орбите в боровской модели атома.

Свяжем момент импульса с моментом инерции и угловой скоростью. Пусть радиус-вектор некоторой частицы массой лежит в плоскости рис. 3.10, скорость перпендикулярна ей («от нас»), частица движется по окружности радиусом .

Модуль момента импульса . Линейную скорость можно связать с угловой относительно оси как , тогда . Проекция вектора на ось вращения равна

. Как видно из рис. 3.10, , т.е.

Для системы материальных точек (твёрдого тела) выражение связи , и формально такое, как и для материальной точки:

Но под здесь подразумевается сумма моментов инерции материальных точек системы:

Можно показать (см., например, в [1]), что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения, суммарный момент импульса тела . Он направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и , т.е.

(Для несимметричного тела в общем случае не совпадает по направлению с вектором ).

Уравнение моментов. В дальнейших преобразованиях условимся для упрощения записи индекс 0 у , и других величин не писать, но подразумевать, что он есть.

Продифференцируем выражение для момента импульса материальной точки: . .

Учтём, что , а .

Рассмотрим первое слагаемое (см. в лекции № 1 «Векторное произведение»).

= (так как угол между и равен нулю).

Второе слагаемое в выражении для

(по определению момента силы).

В результате получаем:

Уравнение моментов (оно связывает момент импульса с моментом силы).

Производная по времени момента импульса материальной точки относительно точки О равна моменту действующей силы относительно точки О

12) Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела