Внешний вид электоромагнитного преобразователя с цилиндрическим сплошным изделием внутри.

Рис. 2.1 иллюстрирует внешний вид электромагнитного преобразователя (ЭМП) с цилиндрическим проводящим изделием, на рис. 2.2 показано продольное сечение этого преобразователя. ЭМП содержит диэлектрический каркас Кр (см. рис. 2.1), на который наносится рядовой укладкой сначала измерительная обмотка ИО, а поверх нее через тонкий слой лакоткани рядовой укладкой наматывается намагничивающая обмотка НО. В параметрическом преобразователе находится всего одна намагничивающая обмотка, в трансформаторном преобразователе две – намагничивающая и измерительная. По длине намагничивающей обмотки l _п протекает намагничивающий ток I _н. ИО имеет радиус а _п. Внутрь ЭМП помещен образец О цилиндрического изделия с радиусом а и длиной l. Длина образца может быть равна длине преобразователя либо быть больше нее.

Рисунок 2.1 – Внешний вид электромагнитного преобразователя

с цилиндрическим изделием

Рисунок 2.2 – Продольное сечение проходного ЭМП с цилиндрическим сплошным изделием внутри:

1 – изделие; 2 – диэлектрический каркас; 3 – измерительная обмотка; 4 – намагничивающая обмотка; 5 – изоляционный слой; l _п – длина преобразователя; l – длина изделия; а – радиус изделия; а _и – радиус измерительной обмотки; а _н– радиус намагничивающей обмотки

Физические процессы и основные уравнения.

В основе вихретоковых методов лежит зависимость интенсивности и распределения вихревых токов в объекте контроля от взаимного расположения ВТП и объекта. Переменный ток, действующий в катушках ВТП, создает электромагнитное поле, которое возбуждает вихревые токи в электропроводящем объекте.

На рис представлена обобщенная функциональная схема вихретокового контроля с накладным преобразователем. Плотность вихревых токов максимальна на поверхности объекта в контуре, диаметр которого близок к диаметру возбуждающей обмотки, и убывает до нуля на оси ВТП и при г оо. Плотность вихревых токов убывает также и по глубине объекта контроля. Для приближенной оценки глубины проникновения электромагнитного поля накладного ВТП в объект контроля можно воспользоваться формулой глубины проникновения δ (м) плоской волны:

где ω - круговая частота тока возбуждения ВТП; μ _а -абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м; а s- удельная электрическая проводимость материала объекта контроля, См/м. Величина δ соответствует затуханию напряженности магнитного поля в е раз по сравнению со значением напряженности магнитного поля на поверхности объекта. Формула (1) дает завышенное значение глубины проникновения, которое тем ближе к реальному, чем больше обобщенный параметр:

где R - радиус возбуждающей обмотки ВТП.

Для определения δ при известном β значении можно применить формулу

Истинное значение глубины проникновения для наружного проходного ВТП с однородным магнитным полем превышает оценку по (1). На рис. показаны графики зависимости относительной глубины проникновения от квадрата обобщенного параметра контроля:

где R - радиус контролируемого цилиндра или наружный радиус цилиндра

Рис. истинные значения; - - - - приближенные значения

Взаимодействие преобразователя с объектом определяется уравнениями Максвелла

где Н и Е - векторы напряженности соответственно магнитного и электрического полей; В - вектор магнитной индукции; J полн - вектор плотности полного тока, равный сумме векторов плотности токов: проводимости (вихревых токов) J _Пр, смещения Jсм, переноса Jпер и сторонних •Jстор; t- время.

В проводящей среде значения токов смещения незначительны по сравнению с другими составляющими полного тока, поэтому можем записать

где J пр = sЕ; J пер = s[ν х В]; s - удельная электрическая проводимость; ν - вектор скорости переноса. В неподвижном относительно электромагнитного поля объекте «J пер = 0» так как ν = 0. Учитывая, что В = μ аН, где μ а = μ оμ г - абсолютная магнитная проницаемость; μ о - магнитная постоянная, формулу (4) можно преобразовать:

где =μ _d= ə В/ ə Н - дифференциальная магнитная проницаемость.

зависимости (3) и (5) можно свести в одно уравнение:

В линейной изотропной среде μ _d = μ _а= const и уравнение (6) переходит в уравнение Фурье:

В объекте контроля сторонние токи отсутствуют (Jстор = 0)» поэтому уравнения (6) и (7) будут однородными.

Если Н изменяется во времени по синусоидальному закону с круговой частотой ω (монохроматическое поле), то зависимость (7) переходит в уравнение Гельмгольца:

.

При контроле круговых цилиндров в проходном ВТП с однородным монохроматическим полем, т.е. при радиальная координата, выражение (8) переходит в уравнение Бесселя для Н, решение которого с учетом граничных условий имеет вид

где I₀ - модифицированная цилиндрическая функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Н₀ - значение Н на поверхности цилиндра. Вектор плотности вихревых токов в этом случае имеет только угловую составляющую

где I₁, - модифицированная цилиндрическая функция Бесселя первого рода первого порядка.

На рис. 11 приведены графики распределения модулей относительной напряженности магнитного поля Н_* = Н / Н₀ и относительной плотности вихревых токов - модуль плотности вихревых токов на поверхности цилиндра.

Из рис. следует, что плотность вихревых токов убывает от периферии цилиндра к его оси, где она равна нулю независимо от Х.

Решение уравнения Бесселя можно записать в виде:

где I ₀ (kr) – модифицированная функция Бесселя от мнимого аргумента (kr), причем I ₀ – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; I ₀ (ka) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента (ka); k характеризует глубину проникновения магнитного поля в изделие:

(здесь ω – циклическая частота, ; ); Н ₀ – напряженность магнитного поля на поверхности изделия:

тут W ₁– число витков намагничивающей обмотки; l _п – длинакатушки; С – коэффициент, зависящий от отношения длины к диаметру катушки.

Для определения магнитного потока Ф ₂, пронизывающего сечение изделия, необходимо записать формулу для магнитной индукции В в виде

(2.5)

Тогда:

(2.6)

где I ₁ (kr) – модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка от мнимого аргумента (kr).

Взяв интеграл в виде

,

(2.7)

получим формулу для нахождения Ф ₂:

(2.8)

Помножив числитель и знаменатель (2.8) на значение радиуса а изделия, найдем, что

(2.9)

Магнитный поток Ф ₀ внутри преобразователя (катушки) без изделия запишем в таком виде:

(2.10)

где В ₀ – магнитная индукция в пустом преобразователе; S – площадь его поперечного сечения; а _п – радиус преобразователя.

Введем понятие нормированного магнитного потока Ф _2н:

(2, 11)

где η – коэффициент заполнения:

(2.12)

На основании (2.11) введем следующий комплексный параметр К,

представляющий собой удельный нормированный магнитный поток на единицу μ _r:

(2.13)

Как видно из (2.13), параметр К зависит только от одной переменной (ka). Это очень удобно для дальнейших расчетов.

Мнимый аргумент модифицированных функций I ₁ и I ₀ находят по формуле

(2.14)

где х – обобщенный параметр:

(2.15)

С учетом того, что , где f – обычная частота изменения зондирующего поля, формула (2.15) записывается таким образом:

(2.16)

Параметр х выражает отношение радиуса изделия к классической глубине проникновения δ, формула которой имеет вид

(2.17)

На основании (2.15) и (2.17) можно записать выражение для расчета параметра х:

(2.18)

Модифицированные функции Бесселя выражаются через ber- и bei- функции Кельвина. При этом [42]

где ber ₀ x, bei ₀ x, ber ₁ x, bei ₁ x – функции Кельвина нулевого и первого порядков.

С помощью (2.19) (2.20) и (2.13) найдем модуль параметра К. Сначала, на основании формулы Муавра получим выражение для вычисления , т.е.

(2.21)

Таким образом, с учетом (2.13), (2.19)–(2.21) имеем формулу для расчета модуля параметра в виде

(2.22)

В итоге, расписывая модули в числителе и знаменателе (2.22), получаем:

(2.23)

Для определения фазового угла φ ₂ необходимо выделить действительную и мнимую части параметра К. Выполнив преобразования, получим:

(2.26)

Представив berx-; beix- функции в виде степенных рядов и использовав компьютерную технику, можно построить зависимости модуля параметра К и его фазового угла φ ₂ от обобщенного параметра х. На рис. 2.3 и рис. 2.4 представлены эти зависимости, которые являются обобщенными функциями преобразования, поскольку они охватывают широкий ассортимент цилиндрических изделий как по магнитным, электрическим, так и по геометрическим параметрам, а также по значениям частоты магнитного поля:

Рисунок 2.3 – График зависимости К от x

Рисунок 2.4 – График зависимости φ ₂ от x